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課時(shí)作業(yè)(五十五)　定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題 1．(2016保定模擬)設(shè)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝，且過(guò)點(diǎn)。 (1)求橢圓E的方程。 (2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A，若直線l：x－my－t＝0與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，試判定直線l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。 解析：(1)由e2＝＝＝，可得a2＝2b2， 橢圓方程為＋＝1，代入點(diǎn)可得b2＝2，a2＝4， 故橢圓E的方程為＋＝1。 (2)由x－my－t＝0得x＝my＋t， 把它代入E的方程得：(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)得： y1＋y2＝－，y1y2＝， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝。 因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A， 所以AM⊥AN， 所以＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝＋2＋4＋＝＝＝0。 因?yàn)镸，N與A均不重合，所以t≠－2， 所以t＝－，直線l的方程是x＝my－，直線l過(guò)定點(diǎn)T， 由于點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部，故滿(mǎn)足判別式大于0， 所以直線l過(guò)定點(diǎn)T。 2．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)(2，)。 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC，BD過(guò)原點(diǎn)O，若kACkBD＝－，求證：四邊形ABCD的面積為定值。 解析：(1)由題意e＝＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2， 解得a2＝8，b2＝4，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1。 (2)證明：設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，① 由根與系數(shù)的關(guān)系得 ∵kACkBD＝－＝－，∴＝－， ∴y1y2＝－x1x2＝－＝－。 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝k2＋km＋m2＝， ∴－＝， ∴－(m2－4)＝m2－8k2，∴4k2＋2＝m2。 設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則 S△AOB＝|AB|d＝|x2－x1| ＝ ＝＝＝2， ∴S四邊形ABCD＝4S△AOB＝8， 即四邊形ABCD的面積為定值。 3．(2015廣東卷)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B。 (1)求圓C1的圓心坐標(biāo)； (2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程； (3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。 解析：(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4， ∴圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0)。 (2)設(shè)M(x，y)，則 ∵點(diǎn)M為弦AB中點(diǎn)即C1M⊥AB， ∴kC1MkAB＝－1即＝－1， ∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的方程為2＋y2＝。 (3)由(2)知點(diǎn)M的軌跡是以C為圓心r＝為半徑的部分圓弧EF(如圖所示，不包括兩端點(diǎn))，且E，F(xiàn)，又直線L：y＝k(x－4)過(guò)定點(diǎn)D(4,0)， 當(dāng)直線L與圓C相切時(shí)，由＝得k＝，又kDE＝－kDF＝－＝，結(jié)合上圖可知當(dāng)k∈∪時(shí)，直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)。 4．(2015湖北卷)一種畫(huà)橢圓的工具如圖1所示。O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的拴子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DN＝ON＝1，MN＝3，當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫(huà)出的橢圓記為C，以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系。 圖1 圖2 (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分別交于P，Q兩點(diǎn)，若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由。 解析：(1)因?yàn)閨OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4。 當(dāng)M，N在x軸上時(shí)，等號(hào)成立； 同理|OM|≥|MN|－|NO|＝3－1＝2，當(dāng)D，O重合，即MN⊥x軸時(shí)，等號(hào)成立。 所以橢圓C的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4，短半軸長(zhǎng)為2，其方程為＋＝1。 (2)(ⅰ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l為x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝44＝8。 (ⅱ)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y＝kx＋m(k≠)。 由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0。 因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。 所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0， 即m2＝16k2＋4。① 又由可得P； 同理可得Q。 由原點(diǎn)O到直線PQ的距離為d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得S△OPQ＝|PQ|d＝|m||xP－xQ|＝|m|＝。② 將①代入②得，S△OPQ＝＝8。 當(dāng)k2＞時(shí)，S△OPQ＝8＝8＞8； 當(dāng)0≤k2＜時(shí)， S△OPQ＝8＝8。 因0≤k2＜，則0＜1－4k2≤1，≥2， 所以S△OPQ＝8(－1＋)≥8，當(dāng)且僅當(dāng)k＝0時(shí)取等號(hào)。 所以當(dāng)k＝0時(shí)，S△OPQ的最小值為8。 綜上(1)(2)可知，當(dāng)直線l與橢圓C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，△OPQ的面積取得最小值8。