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復(fù)變函數(shù)作業(yè)一 一、判斷（對(duì)的用T表示，錯(cuò)的用F表示） 1、如果存在，那么在解析。（ F ） 2、。（ F ） 3、當(dāng)且僅當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，為實(shí)數(shù)。（ F ） 4、設(shè)在區(qū)域內(nèi)是解析的，如果是實(shí)常數(shù)，那么在整個(gè)內(nèi)是常數(shù)；如果是實(shí)常數(shù)，那么在內(nèi)也是常數(shù)。（ T ） 2、 填空 1、= ；= 。 2、設(shè)是1的次根，，則= 0 。 3、在映射下，扇形區(qū)域的像區(qū)域?yàn)? 。 4、若，則= 。 三、計(jì)算 1、 計(jì)算下列函數(shù)值：1）；2）。 1）、 解： 主值 , 2）、 解： 設(shè)3+4i的平方根是x+yi，x、y∈R，則有 x2-y2=3，且 2xy=4， 求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1， 故3+4i的平方根是 2+i，或-2-i， 故答案為：2+i，或-2-i 2、下列函數(shù)在復(fù)平面上何處可導(dǎo)？何處解析？ 1） ； 2） 。 1） ； 解： 因?yàn)?f(z)=|z| 當(dāng)趨于0-時(shí) f(z)=|-1； 當(dāng)趨于0+時(shí) f(z)=|1； 右極限不等于左極限。 所以f(z)=|z|在z=0處不可導(dǎo)，而在除0以外的其他地方都可導(dǎo)且解析。 2） 。 解： 僅在直線上可導(dǎo)，在復(fù)平面上處處不解析。 3、函數(shù)是否為解析函數(shù)？求出其導(dǎo)數(shù)。 解：不是解析函數(shù)，因?yàn)闈M足條件的只有兩個(gè)點(diǎn)，不成區(qū)域 4、已知，求。 解： 5、計(jì)算積分 1）； 解：1）； 2）； 解： 在內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)，所以令，所以 3） ； 解: 4） 。 解： 四、證明：若積分路徑不經(jīng)過，則。 證明：如果積分路徑不經(jīng)過，且不繞過， 則由柯西定理得， 若積分繞z=轉(zhuǎn) 圈，則積分值為 若繞z = -i轉(zhuǎn) 圈，則積分值為 故在一般情況下，積分值為 五、證明：設(shè)是的共軛調(diào)和函數(shù)，問下列各對(duì)函數(shù)中后者是不是前者的共軛調(diào)和函數(shù)？判斷并給出理由： 1）（為常數(shù)）； 2）。 1）證明： 2） 不是 的共軛調(diào)和函數(shù) 證明： 因?yàn)樵谀硡^(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)一定是該區(qū)域內(nèi)某解析函數(shù)(可能多值)的實(shí)部或虛部，反之，某區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)其實(shí)部與虛部都是該區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。和不滿足此條件，應(yīng)該是2uv是的共軛調(diào)和函數(shù)。 綜上所述，不是 的共軛調(diào)和函數(shù)。 復(fù)變函數(shù)作業(yè)二 一、判斷 1、在z=0收斂，在z=3發(fā)散。（ F ） 2、在區(qū)域內(nèi)解析，且在區(qū)間（-R，R）取實(shí)數(shù)值的函數(shù)f(z)展開成z的冪級(jí)數(shù)時(shí)，展開式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)。（ T ） 3、在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)不能展開成羅朗級(jí)數(shù)。（ F ） 4、z=0是的本性奇點(diǎn)。（ T ） 二、填空 1、的收斂半徑為 。 2、展開成z的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑= 。 3、z=0是的 3 級(jí)零點(diǎn)。 4、以z=a為m級(jí)和n級(jí)極點(diǎn)，則z=a為的 m+n 級(jí) 極 點(diǎn)。 三、計(jì)算 1、求在處的泰勒展開式。 解： 2、 求 解： 3、 求在z=1處的泰勒展開式。 解：當(dāng)z=1時(shí)，此函數(shù)的泰勒展開式為：（z-1）^3-(z-1)^2-3(z-1) 4、將在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)展開為羅朗級(jí)數(shù)。 解: 四、若為整函數(shù)，且，則是不高于n 次的多項(xiàng)式。 證明： 當(dāng)　　　　時(shí)，令 當(dāng)時(shí)， 復(fù)變函數(shù)作業(yè)三 一、 判斷題（對(duì)的用“T”表示，錯(cuò)的用“F”表示） 1、若在區(qū)域內(nèi)單葉解析，則在內(nèi)。（ F ） 2、線性變換將平面上的圓周變?yōu)閳A周或直線。（ T ） 3、解析函數(shù)具有保形性。（F ） 4、函數(shù)在可去奇點(diǎn)處的留數(shù)為0。（ F ） 二、 填空題 1、方程在單位圓內(nèi)有 6 個(gè)根。 2、關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為 x+(y-1)=1 。 3、，則= －4 。 4、在點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角為 ，伸縮率為 20 。 三、 計(jì)算題 1、 解：設(shè) f1(z)=1/[(z-2)(z-48)(z-50)]， f2(z)=1/[(z-1)(z-48)(z-50)]， f3(z)=1/[(z-1)(z-2)(z-50)]， 則答案為 2πi[f1(1)+f2(2)+f3(48)] 2、 解： 3、 解： 4、求把平面的單位圓變?yōu)槠矫娴膯挝粓A，并使1成為不動(dòng)點(diǎn)，使 變?yōu)闊o窮遠(yuǎn)點(diǎn)的線性變換。 解：依題意得，設(shè) ，因?yàn)?+i關(guān)于單位圓的對(duì)稱點(diǎn)為 ，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于單位圓的對(duì)稱點(diǎn)是0， 5、 求把平面的單位圓 變?yōu)槠矫娴膯挝粓A的線性變換，使。 解：設(shè)圓周內(nèi)部一點(diǎn)Z=a()變?yōu)閣=0,點(diǎn)a(a0)關(guān)于單位圓周 對(duì)稱點(diǎn) ，應(yīng)該變?yōu)閣=0 關(guān)于單位圓周 的對(duì)稱點(diǎn) ，因此所求變換具有形式為： 其中 為常數(shù)， 當(dāng) 時(shí)， ，故取z=1，對(duì)應(yīng)點(diǎn)w滿足 因此令 從而所求的變換為