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2008年第25屆全國中學生物理競賽復賽試卷 本卷共八題，滿分160分 一、（15分） 1、（5分）蟹狀星云脈沖星的輻射脈沖周期是0.033s。假設(shè)它是由均勻分布的物質(zhì)構(gòu)成的球體，脈沖周期是它的旋轉(zhuǎn)周期，萬有引力是唯一能阻止它離心分解的力，已知萬有引力常量，由于脈沖星表面的物質(zhì)未分離，故可估算出此脈沖星密度的下限是 。 2、（5分）在國際單位制中，庫侖定律寫成，式中靜電力常量，電荷量q1和q2的單位都是庫侖，距離r的單位是米，作用力F的單位是牛頓。若把庫侖定律寫成更簡潔的形式，式中距離r的單位是米，作用力F的單位是牛頓。若把庫侖定律寫成更簡潔的形式，式中距離r的單位是米，作用力F的單位是牛頓，由此式可這義一種電荷量q的新單位。當用米、千克、秒表示此新單位時，電荷新單位= ；新單位與庫侖的關(guān)系為1新單位= C。 3、（5分）電子感應(yīng)加速器（betatron）的基本原理如下：一個圓環(huán)真空室處于分布在圓柱形體積內(nèi)的磁場中，磁場方向沿圓柱的軸線，圓柱的軸線過圓環(huán)的圓心并與環(huán)面垂直。圓中兩個同心的實線圓代表圓環(huán)的邊界，與實線圓同心的虛線圓為電子在加速過程中運行的軌道。已知磁場的磁感應(yīng)強度B隨時間t的變化規(guī)律為，其中T為磁場變化的周期。B0為大于0的常量。當B為正時，磁場的方向垂直于紙面指向紙外。若持續(xù)地將初速度為v0的電子沿虛線圓的切線方向注入到環(huán)內(nèi)（如圖），則電子在該磁場變化的一個周期內(nèi)可能被加速的時間是從t= 到t= 。 二、（21分）嫦娥1號奔月衛(wèi)星與長征3號火箭分離后，進入繞地運行的橢圓軌道，近地點離地面高，遠地點離地面高，周期約為16小時，稱為16小時軌道（如圖中曲線1所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來越遠，星載發(fā)動機先在遠地點點火，使衛(wèi)星進入新軌道（如圖中曲線2所示），以抬高近地點。后來又連續(xù)三次在抬高以后的近地點點火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠地點，相繼進入24小時軌道、48小時軌道和地月轉(zhuǎn)移軌道（分別如圖中曲線3、4、5所示）。已知衛(wèi)星質(zhì)量，地球半徑，地面重力加速度，月球半徑。 1、試計算16小時軌道的半長軸a和半短軸b的長度，以及橢圓偏心率e。 2、在16小時軌道的遠地點點火時，假設(shè)衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點火時間很短，可以認為橢圓軌道長軸方向不變。設(shè)推力大小F=490N，要把近地點抬高到600km，問點火時間應(yīng)持續(xù)多長？ 3、試根據(jù)題給數(shù)據(jù)計算衛(wèi)星在16小時軌道的實際運行周期。 4、衛(wèi)星最后進入繞月圓形軌道，距月面高度Hm約為200km，周期Tm=127分鐘，試據(jù)此估算月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比值。 三、（22分）足球射到球門橫梁上時，因速度方向不同、射在橫梁上的位置有別，其落地點也是不同的。已知球門的橫梁為圓柱形，設(shè)足球以水平方向的速度沿垂直于橫梁的方向射到橫梁上，球與橫梁間的滑動摩擦系數(shù)，球與橫梁碰撞時的恢復系數(shù)e=0.70。試問足球應(yīng)射在橫梁上什么位置才能使球心落在球門線內(nèi)（含球門上）？足球射在橫梁上的位置用球與橫梁的撞擊點到橫梁軸線的垂線與水平方向（垂直于橫梁的軸線）的夾角（小于）來表示。不計空氣及重力的影響。 四、（20分）圖示為低溫工程中常用的一種氣體、蒸氣壓聯(lián)合溫度計的原理示意圖，M為指針壓力表，以VM表示其中可以容納氣體的容積；B為測溫飽，處在待測溫度的環(huán)境中，以VB表示其體積；E為貯氣容器，以VE表示其體積；F為閥門。M、E、B由體積可忽略的毛細血管連接。在M、E、B均處在室溫T0=300K時充以壓強的氫氣。假設(shè)氫的飽和蒸氣仍遵從理想氣體狀態(tài)方程。現(xiàn)考察以下各問題： 1、關(guān)閉閥門F，使E與溫度計的其他部分隔斷，于是M、B構(gòu)成一簡易的氣體溫度計，用它可測量25K以上的溫度， 這時B中的氫氣始終處在氣態(tài)，M處在室溫中。試導出B處的溫度T和壓力表顯示的壓強p的關(guān)系。除題中給出的室溫T0時B中氫氣的壓強P0外，理論上至少還需要測量幾個已知溫度下的壓強才能定量確定T與p之間的關(guān)系？ 2、開啟閥門F，使M、E、B連通，構(gòu)成一用于測量20～25K溫度區(qū)間的低溫的蒸氣壓溫度計，此時壓力表M測出的是液態(tài)氫的飽和蒸氣壓。由于飽和蒸氣壓與溫度有靈敏的依賴關(guān)系，知道了氫的飽和蒸氣壓與溫度的關(guān)系，通過測量氫的飽和蒸氣壓，就可相當準確地確定這一溫區(qū)的溫度。在設(shè)計溫度計時，要保證當B處于溫度低于時，B中一定要有液態(tài)氫存在，而當溫度高于時，B中無液態(tài)氫。到達到這一目的，與VB間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？已知時，液態(tài)氫的飽和蒸氣壓。 3、已知室溫下壓強的氫氣體積是同質(zhì)量的液態(tài)氫體積的800倍，試論證蒸氣壓溫度計中的液態(tài)氣不會溢出測溫泡B。 五、（20分）一很長、很細的圓柱形的電子束由速度為v的勻速運動的低速電子組成，電子在電子束中均勻分布，沿電子束軸線每單位長度包含n個電子，每個電子的電荷量為，質(zhì)量為m。該電子束從遠處沿垂直于平行板電容器極板的方向射向電容器，其前端（即圖中的右端）于t=0時刻剛好到達電容器的左極板。電容器的兩個極板上各開一個小孔，使電子束可以不受阻礙地穿過電容器。兩極板A、B之間加上了如圖所示的周期性變化的電壓（，圖中只畫出了一個周期的圖線），電壓的最大值和最小值分別為V0和－V0，周期為T。若以表示每個周期中電壓處于最大值的時間間隔，則電壓處于最小值的時間間隔為T－。已知的值恰好使在VAB變化的第一個周期內(nèi)通過電容器到達電容器右邊的所有的電子，能在某一時刻tb形成均勻分布的一段電子束。設(shè)電容器兩極板間的距離很小，電子穿過電容器所需要的時間可以忽略，且，不計電子之間的相互作用及重力作用。 1、滿足題給條件的和tb的值分別為= T，tb= T。 2、試在下圖中畫出t=2T那一時刻，在0－2T時間內(nèi)通過電容器的電子在電容器右側(cè)空間形成的電流I，隨離開右極板距離x的變化圖線，并在圖上標出圖線特征點的縱、橫坐標（坐標的數(shù)字保留到小數(shù)點后第二位）。取x正向為電流正方向。圖中x=0處為電容器的右極板B的小孔所在的位置，橫坐標的單位。（本題按畫出的圖評分，不須給出計算過程） 六、（22分）零電阻是超導體的一個基本特征，但在確認這一事實時受到實驗測量精確度的限制。為克服這一困難，最著名的實驗是長時間監(jiān)測浸泡在液態(tài)氦（溫度T=4.2K）中處于超導態(tài)的用鉛絲做成的單匝線圈（超導轉(zhuǎn)換溫度TC=7.19K）中電流的變化。設(shè)鉛絲粗細均勻，初始時通有I=100A的電流，電流檢測儀器的精度為，在持續(xù)一年的時間內(nèi)電流檢測儀器沒有測量到電流的變化。根據(jù)這個實驗，試估算對超導態(tài)鉛的電阻率為零的結(jié)論認定的上限為多大。設(shè)鉛中參與導電的電子數(shù)密度，已知電子質(zhì)量，基本電荷。（采用的估算方法必須利用本題所給出的有關(guān)數(shù)據(jù)） 七、（20分）在地面上方垂直于太陽光的入射方向，放置一半徑R=0.10m、焦距f=0.50m的薄凸透鏡，在薄透鏡下方的焦面上放置一黑色薄圓盤（圓盤中心與透鏡焦點重合），于是可以在黑色圓盤上形成太陽的像。已知黑色圓盤的半徑是太陽像的半徑的兩倍。圓盤的導熱性極好，圓盤與地面之間的距離較大。設(shè)太陽向外輻射的能量遵從斯特藩—玻爾茲曼定律：在單位時間內(nèi)在其單位表面積上向外輻射的能量為，式中為斯特藩—玻爾茲曼常量，T為輻射體表面的的絕對溫度。對太而言，取其溫度。大氣對太陽能的吸收率為。又設(shè)黑色圓盤對射到其上的太陽能全部吸收，同時圓盤也按斯特藩—玻爾茲曼定律向外輻射能量。如果不考慮空氣的對流，也不考慮雜散光的影響，試問薄圓盤到達穩(wěn)定狀態(tài)時可能達到的最高溫度為多少攝氏度？ 八、（20分）質(zhì)子數(shù)與中子數(shù)互換的核互為鏡像核，例如是的鏡像核，同樣是的鏡像核。已知和原子的質(zhì)量分別是和，中子和質(zhì)子質(zhì)量分別是和，，式中c為光速，靜電力常量，式中e為電子的電荷量。 1、試計算和的結(jié)合能之差為多少MeV。 2、已知核子間相互作用的“核力”與電荷幾乎沒有關(guān)系，又知質(zhì)子和中子的半徑近似相等，試說明上面所求的結(jié)合能差主要是由什么原因造成的。并由此結(jié)合能之差來估計核子半徑rN。 3、實驗表明，核子可以被近似地看成是半徑rN恒定的球體；核子數(shù)A較大的原子核可以近似地被看成是半徑為R的球體。根據(jù)這兩點，試用一個簡單模型找出R與A的關(guān)系式；利用本題第2問所求得的rN的估計值求出此關(guān)系式中的系數(shù)；用所求得的關(guān)系式計算核的半徑。