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,三、其他未定式,,二、,型未定式,一、,型未定式,,,第二節(jié),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,洛必達(dá)法則,第四章,微分中值定理,函數(shù)的性態(tài),,,導(dǎo)數(shù)的性態(tài),函數(shù)之商的極限,導(dǎo)數(shù)之商的極限,轉(zhuǎn)化,(或型),,,本節(jié)研究:,洛必達(dá)法則,洛必達(dá)目錄上頁下頁返回結(jié)束,一、,存在(或?yàn)?,,定理1.,型未定式,(洛必達(dá)法則),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,(?在x,a之間),證:,無妨假設(shè),在指出的鄰域內(nèi)任取,則,在以x,a為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯,故,,定理?xiàng)l件:,西定理?xiàng)l件,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,存在(或?yàn)?,推論1.,定理1中,換為,之一,,推論2.,若,理1條件,,則,條件2)作相應(yīng)的修改,定理1仍然成立.,洛必達(dá)法則,定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束,例1.求,解:,原式,注意:不是未定式不能用洛必達(dá)法則!,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2.求,解:,原式,思考:如何求,(n為正整數(shù))?,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、,型未定式,存在(或?yàn)椤?,,定理2.,證:,僅就極限,存在的情形加以證明.,(洛必達(dá)法則),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,1),的情形,從而,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,2),的情形.,取常數(shù),,可用1)中結(jié)論,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,3),時(shí),結(jié)論仍然成立.(證明略),說明:定理中,換為,之一,,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.,定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束,例3.求,解:,原式,例4.求,解:(1)n為正整數(shù)的情形.,原式,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例4.求,(2)n不為正整數(shù)的情形.,從而,由(1),用夾逼準(zhǔn)則,存在正整數(shù)k,使當(dāng)x>1時(shí),,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例3.,例4.,說明:,1)例3,例4表明,時(shí),,后者比前者趨于,更快.,,例如,,而,用洛必達(dá)法則,,,2)在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決計(jì)算問題.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,3)若,例如,,極限不存在,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,三、其他未定式:,解決方法:,通分,,,,取倒數(shù),,,取對數(shù),例5.求,解:原式,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,,解:原式,例6.求,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,通分,,,,取倒數(shù),,,取對數(shù),,例7.求,解:,利用例5,,,例5目錄上頁下頁返回結(jié)束,通分,,,,取倒數(shù),,,取對數(shù),,例8.求,解:,注意到,～,原式,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例9.求,分析:為用洛必達(dá)法則,必須改求,法1用洛必達(dá)法則,但對本題用此法計(jì)算很繁!,法2,原式,例3目錄上頁下頁返回結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),洛必達(dá)法則,,,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,思考與練習(xí),1.設(shè),是未定式極限,如果,不存在,是否,的極限也不存在?,舉例說明.,極限,,說明目錄上頁下頁返回結(jié)束,原式,分析:,分析:,,3.,,原式,,,,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,作業(yè),P141（A）1(6)，(7)，(9)，(12)，(16),4（B）1（2）（5）（6）.5。,第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束,洛必達(dá)(1661–1704),法國數(shù)學(xué)家,,他著有《無窮小分析》,(1696),,并在該書中提出了求未定式極,限的方法,,后人將其命名為“洛必達(dá)法,的擺線難題,,以后又解出了伯努利提出的“最速降,線”問題,,在他去世后的1720年出版了他的關(guān)于圓,錐曲線的書.,則”.,他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,,求下列極限:,解:,備用題,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,令,則,原式=,解:,(用洛必達(dá)法則),(繼續(xù)用洛必達(dá)法則),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,解:,原式=,第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束,則,4.求,解:令,原式,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,