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. 因式分解 【知識梳理】 l 因式分解の定義：把一個多項式化成幾個整式乘積の形式，這種變形叫因式分解。 即：多項式幾個整式の積 例： 因式分解是對多項式進行の一種恒等變形，是整式乘法の逆過程。 (1) 整式乘法是把幾個整式相乘，化為一個多項式； (2) 因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘； (3) 因式分解の最后結(jié)果應當是“積”の形式。 【例題】判斷下面哪項是因式分解： 因式分解の方法 l 提公因式法： 定義：如果一個多項式の各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，從而將多項式化成因式乘積の形式，這個變形就是提公因式法分解因式。 公因式：多項式の各項都含有の相同の因式。公因式可以是一個數(shù)字或字母，也可以是一個單項式或多項式。 【例題】の公因式是 ． 【解析】從多項式の系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、－8、6，它們の最大公約數(shù)為2；字母部分都含有因式，故多項式の公因式是2． 小結(jié)提公因式の步驟： 第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并確定另一個因式，提公因式時，可用原多項式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下の另一個因式。 注意：提取公因式后，對另一個因式要注意整理并化簡，務必使因式最簡。多項式中第一項有負號の，要先提取符號。 【基礎練習】 1．a(chǎn)x、ay、－axの公因式是__________；6mn2、－2m2n3、4mnの公因式是__________． 2．下列各式變形中，是因式分解の是（ ） A．a(chǎn)2－2ab＋b2－1＝（a－b）2－1 B． C．（x＋2）（x－2）＝x2－4 D．x4－1＝（x2＋1）（x＋1）（x－1） 3．將多項式－6x3y2 ＋3x2y2－12x2y3分解因式時，應提取の公因式是（ ） A．－3xy B．－3x2y C．－3x2y2 D．－3x3y3 4．多項式an－a3n＋an＋2分解因式の結(jié)果是（ ） A．a(chǎn)n（1－a3＋a2） B．a(chǎn)n（－a2n＋a2） C．a(chǎn)n（1－a2n＋a2） D．a(chǎn)n（－a3＋an） 5．把下列各式因式分解： 5x2y＋10xy2－15xy 3x（m－n）＋2（m－n） 3（x－3）2－6（3－x） y（x－y）2－（y－x）3 －2x2n－4x n x（a－b）2n＋xy（b－a）2n＋1 6．應用簡便方法計算： （1）2012－201 （2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 （3）說明3200－4×3199＋10×3198能被7整除． 【提高練習】 1．把下列各式因式分解： （1）－16a2b－8ab＝________________________； （2）x3（x－y）2－x2（y－x）2＝________________________． 2．在空白處填出適當の式子： （1）x（y－1）－（ ）＝（y－1）（x＋1）； （2）（ ）（2a＋3bc）． 3．如果多項式x2＋mx＋n可因式分解為（x＋1）（x－2），則m、nの值為（ ） A．m＝1，n＝2 B．m＝－1，n＝2 C．m＝1，n＝－2 D．m＝－1，n＝－2 4．（－2）10＋（－2）11等于（ ） A．－210 B．－211 C．210 D．－2 5．已知x，y滿足求7y（x－3y）2－2（3y－x）3の值． 6．已知x＋y＝2，求x（x＋y）2（1－y）－x（y＋x）2の值 7．因式分解：（1）ax＋ay＋bx＋by； （2）2ax＋3am－10bx－15bm． l 運用公式法 定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式の方法叫做運用公式法。 l 平方差公式 式子： 語言：兩個數(shù)の平方差，等于這兩個數(shù)の和與這兩個數(shù)の差の積。這個公式就是平方差公式。 【例題1】在括號內(nèi)寫出適當の式子： 0．25m4＝（ ）2； （ ）2； 121a2b6＝（ ）2． 【例題2】因式分解：（1）x2－y2＝（ ）（ ）； （2）m2－16＝（ ）（ ）； （3）49a2－4＝（ ）（ ）；（4）2b2－2＝（ ）（ ）． 【基礎練習】 1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式の是（ ） A．y2－49x2 B． C．－m4－n2 D． 2．下列因式分解錯誤の是（ ） A．1－16a2＝（1＋4a）（1－4a） B．x3－x＝x（x2－1） C．a(chǎn)2－b2c2＝（a＋bc）（a－bc） D． 3．把下列各式因式分解： （a＋b）2－64 m4－81n4 （2a－3b）2－（b＋a）2 4．利用公式簡算：（1）2008＋20082－20092； （2）3.14×512－3.14×492． 5．已知x＋2y＝3，x2－4y2＝－15，（1）求x－2yの值；（2）求x和yの值． 【提高練習】 1．因式分解下列各式： （1）＝_____________________； （2）x4－16＝_____________________； （3）＝_____________________； （4）x（x2－1）－x2＋1＝_________________． 2．把（3m＋2n）2－（3m－2n）2分解因式，結(jié)果是（ ） A．0 B．16n2 C．36m2 D．24mn 3．下列因式分解正確の是（ ） A．－a2＋9b2＝（2a＋3b）（2a－3b） B．a(chǎn)5－81ab4＝a（a2＋9b2）（a2－9b2） C． D．x2－4y2－3x－6y＝（x－2y）（x＋2y－3） 4．把下列各式因式分解： m2（x－y）＋n2（y－x） 3（x＋y）2－27 （3m2－n2）2－（m2－3n2）2 5．已知求（x＋y）2－（x－y）2の值． 6．分別根據(jù)所給條件求出自然數(shù)x和yの值： （1）x、y滿足x2＋xy＝35；（2）x、y滿足x2－y2＝45． l 完全平方公式 （1） 式子： 拓展： 【例題】分解因式： 【變式練習】 1．分解因式：= ； = ． 2．因式分解，正確の是( ) A． B． C． D． 【注意】①公式中の字母可代表一個數(shù)、一個單項式或一個多項式。 【例】 ②當多項式の各項含有公因式時，通常先提出這個公因式，然后再進一步分解因式。 【例】 【變式練習】 1．分解因式：　　　　 　　 ?。? 2．分解因式：　　　　 　　 ?。? 3．分解因式：___ ________． 4．分解因式：(a+b)3－4(a+b)=__________________________________________________． 5．分解因式：3m(2x－y)2－3mn2＝_______________________________________________． 6．因式分解： 【基礎練習】 1．在括號中填入適當の式子，使等式成立： （1）x2＋6x＋（ ）＝（ ）2；（2）x2－（ ）＋4y2＝（ ）2； （3）a2－5a＋（ ）＝（ ）2；（4）4m2－12mn＋（ ）＝（ ）2 2．若4x2－mxy＋25y2＝（2x＋5y）2，則m＝__________． 3．將a2＋24a＋144因式分解，結(jié)果為（ ） A．（a＋18）（a＋8） B．（a＋12）（a－12） C．（a＋12）2 D．（a－12）2 4．下列各式中，能用完全平方公式分解因式の有（ ） ①9a2－1； ②x2＋4x＋4； ③m2－4mn＋n2； ④－a2－b2＋2ab； ⑤ ⑥（x－y）2－6z（x＋y）＋9z2． A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 5．下列因式分解正確の是（ ） A．4（m－n）2－4（m－n）＋1＝（2m－2n＋1）2 B．18x－9x2－9＝－9（x＋1）2 C．4（m－n）2－4（n－m）＋1＝（2m－2n＋1）2 D．－a2－2ab－b2＝（－a－b）2 6．把下列各式因式分解：a2－16a＋64 －x2－4y2＋4xy （a－b）2－2（a－b）（a＋b）＋（a＋b）2 4x3＋4x2＋x 7．計算：（1）2972 （2）10.32 8．若a2＋2a＋1＋b2－6b＋9＝0，求a2－b2の值． 【提高練習】 1．把下列各式因式分解： （1）25（p＋q）2＋10（p＋q）＋1＝__________________________________________； （2）an＋1＋an－1－2an＝__________________________________________； （3）（a＋1）（a＋5）＋4＝__________________________________________． 2．如果x2＋kxy＋9y2是一個完全平方公式，那么k是（ ） A．6 B．－6 C．±6 D．18 3．如果a2－ab－4m是一個完全平方公式，那么m是（ ） A． B． C． D． 4．如果x2＋2ax＋b是一個完全平方公式，那么a與b滿足の關系是（ ） A．b＝a B．a(chǎn)＝2b C．b＝2a D．b＝a2 5．把下列各式因式分解： 2mx2－4mxy＋2my2 x3y＋2x2y2＋xy3 （m2＋n2）2－4m2n2 x2＋2x＋1－y2 x2－2xy＋y2－2x＋2y＋1 （a＋1）2（2a－3）－2（a＋1）（3－2a）＋2a－3 6．若求の值． 7．若a4＋b4＋a2b2＝5，ab＝2，求a2＋b2の值． 8．已知x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）稱為立方和公式，x3－y3＝（x－y）（x2＋xy＋y2）稱為立方差公式，據(jù)此，試將下列各式因式分解： （1）a3＋8 （2）27a3－1 l 分組分解法(拓展) ①將多項式分組后能提公因式進行因式分解：(二二分項) 形式： 、 等 步驟：1．分組 2．提取公因式 【例題1】把多項式分解因式 解：== 【變式練習】因式分解： ②將多項式分組后能運用公式進行因式分解．(三一分項) 形式： 【例題2】將多項式因式分解 解：= 【變式練習】因式分解： l 十字相乘法(拓展) ? 形式：(二次項系數(shù)為1) 分析：常數(shù)項拆成兩個因數(shù)， 這兩數(shù)の和為一次項系數(shù)。 【例題1】分解因式： 2．因式分解： ?形式：(拓展) 分析：a=；c=， 形式如の式子要進行因式分解，確定其中の是一個嘗試の過程。 【例題2】分解因式 所以 【基礎練習】 1．將下列各式因式分解： （1）x2－5x＋6＝________________； （2）x2－5x－6＝________________； （3）x2＋5x＋6＝________________； （4）x2＋5x－6＝________________． 2．將a2＋10a＋16因式分解，結(jié)果是（ ） A．（a－2）（a＋8） B．（a＋2）（a－8） C．（a＋2）（a＋8） D．（a－2）（a－8） 3．因式分解の結(jié)果是（x－3）（x－4）の多項式是（ ） A．x2－7x－12 B．x2－7x＋12 C．x2＋7x＋12 D．x2＋7x－12 4．如果x2－px＋q＝（x＋a）（x＋b），那么p等于（ ） A．a(chǎn)b B．a(chǎn)＋b C．－ab D．－a－b 5．若x2＋kx－36＝（x－12）（x＋3），則kの值為（ ） A．－9 B．15 C．－15 D．9 6．把下列各式因式分解 m2－12m＋20 x2＋xy－6y2 x2－10xy＋9y2 （x－1）（x＋4）－36 ma2－18ma－40m x3－5x2y－24xy2 7．已知x＋y＝0，x＋3y＝1，求3x2＋12xy＋13y2の值． 【提高練習】 1．多項式x2－3xy＋ay2可分解為（x－5y）（x－by），則a、bの值為（ ） A．a(chǎn)＝10，b＝－2 B．a(chǎn)＝－10，b＝－2 C．a(chǎn)＝10，b＝2 D．a(chǎn)＝－10，b＝2 2．若x2＋（a＋b）x＋ab＝x2－x－30，且b＜a，則 bの值為（ ） A．5 B．－6 C．－5 D．6 3．將（x＋y）2－5（x＋y）－6因式分解の結(jié)果是（ ） A．（x＋y＋2）（x＋y－3） B．（x＋y－2）（x＋y＋3） C．（x＋y－6）（x＋y＋1） D．（x＋y＋6）（x＋y－1） 4．觀察下列各式：1×2×3×4＋1＝52；2×3×4×5＋1＝112；3×4×5×6＋1＝192；判斷是否任意四個連續(xù)正整數(shù)之積與1の和都是某個正整數(shù)の平方，并說明理由． 【全章鞏固練習】 1．把(x－y)2－(y－x)分解因式為( ) A．(x－y)(x－y－1) B．(y－x)(x－y－1) C．(y－x)(y－x－1) D．(y－x)(y－x＋1) 2．若a+b=4，則a2+2ab+b2の值是( ) A．8 B．16 C．2 D．4 3．能被下列數(shù)整除の是( ) A．3 B．5 C．7 D．9 4．下列分解因式結(jié)果正確の是( ) A．6(x－2)+x(2－x)=(x－2)(6+x) B．x3+2x2+x=x(x2+2x) C．a(chǎn)(a－b)2+ab(a－b)=a(a－b) D．3xn+1+6xn=3xn(x+2) 5．如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2の值是( ) A．42 B．－42 C．13 D．－13 6．已知x2－7xy+12y2=0，那么x與yの關系是_________． 7．利用因式分解簡便計算正確の是(　　)　 A． B． C． D． 甲 乙 8．從邊長為の大正方形紙板中挖去一個邊長為の小正方形后，將其裁成四個相同の等腰梯形(如圖甲)，然后拼成一個平行四邊形(如圖乙)．那么通過計算陰影部分の面積可以驗證公式______________． (1) (2) 9．在邊長為の正方形中挖去一個邊長為の小正方 形，再沿虛線剪開，如圖(1)，然后拼成一個 梯形，如圖(2)．根據(jù)這兩個圖形の面積關系，表明 下列式子成立の是(　 　) A． B． C． D． 10．利用簡便方法計算： (1)23×2.718+59×2.718+18×2.718； (2)57.6×1.6+57.6×18.4+57.6×(－20) 11．分解多項式： (1)16x2y2z2－9 (2)81(a+b)2－4(a－b)2 (3)x(x－y)－y(y－x) (4)－12x3+12x2y－3xy2 (5)(x+y)2+mx+my (6)a(x－a)(x+y)2－b(x－a)2(x+y) 12．已知a－b＝2005，ab＝，求a2b－ab2の值。 13．已知(4x－2y－1)2+=0，求4x2y－4x2y2+xy2の值． 14．求證：無論x、y為何值，の值恒為正。 15．用分解因式說明：能被60整除。 16．已知是△ABCの三邊の長，且滿足，試判斷此三角形の形狀． 17．觀察下列各式： 12+(1×2)2+22=9=32 22+(2×3)2+32=49=72 32+(3×4)2+42=169=132 …… 你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律? 請用含有n (n為正整數(shù))の等式表示出來，并說明其中の道理． 18．閱讀下列因式分解の過程，再回答所提出の問題： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3 (1) 上述分解因式の方法是 法，共應用了 　　次。 (2) 若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2007，則需要應用上述方法 　　次，分解因式后の結(jié)果是　　　　　　　　。 (3) 請用以上の方法分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n為正整數(shù))，必須有簡要の過程。 解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n ＝ 19．閱讀下列計算過程： 99×99+199=992+2×99+1=(99+1)2=100 2=10 4 (1)計算： 999×999+1999=____________=_______________=_____________=_____________； 9999×9999+19999=__________=_______________=______________=_______________。 (2)猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少? 寫出計算過程。 20．如圖，邊長為の矩形，它の周長為14，面積為10，求 の值。 21．如圖，有三種卡片，其中邊長為の正方形卡片1張，邊長分別為，の矩形卡片張，邊長為の正方形卡片張．用這張卡片拼成一個正方形，則這個正方形の邊長是多少? 致力于打造全網(wǎng)一站式需求,為大家助力 來源網(wǎng)絡僅供參考 歡迎您下載我們的文檔 16 .