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西城區(qū)教育研修學(xué)院·初二數(shù)學(xué)研修活動 2012.4.12 第二十二章《一元二次方程》教材分析 北京八中 劉穎 一. 本章的主要內(nèi)容: 1. 主要內(nèi)容: 一元二次方程及其有關(guān)概念, 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）, 運(yùn)用一元二次方程分析和實(shí)際問題. 2. 本章重點(diǎn)：一元二次方程的解法, 難點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用. 二. 中考考試要求: （2012年） 考試內(nèi)容 考試要求 A B C 一元二次方程 了解一元二次方程的概念, 理解配方法, 會用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程, 理解各種解法的依據(jù) 能由一元二次方程的概念確定二次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范圍; 能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠? 會用一元二次方程根的判別式判斷根的情況 能利用根的判別式說明含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數(shù)的取值范圍; 會運(yùn)用一元二次方程解決簡單的實(shí)際問題 三. 課程學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 以分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系并求解其中的未知數(shù)為背景, 認(rèn)識一元二次方程及其有關(guān)概念. 2. 根據(jù)化歸的思想, 抓住“降次”這一基本策略, 掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法．有條件時(shí)可選學(xué)“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”, 拓展對一元二次方程的認(rèn)識. 3. 經(jīng)歷分析和解決實(shí)際問題的過程, 體會一元二次方程的數(shù)學(xué)模型作用, 進(jìn)一步提高在實(shí)際問題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力. 四. 本章知識結(jié)構(gòu)框圖 實(shí)際問題 數(shù)學(xué)問題 設(shè)未知數(shù), 列方程 實(shí)際問題的答案 數(shù)學(xué)問題的解 解 方 程 開平方法 配方法 公式法 分解因式法 檢 驗(yàn) 降 次 五. 課時(shí)安排 本章教學(xué)時(shí)間約需13課時(shí), 具體分配如下（僅供參考）: 22.1一元二次方程………………（2課時(shí)） 22.2降次——解一元二次方程…（7課時(shí)） 22.3實(shí)際問題與一元二次方程…（2課時(shí)） 數(shù)學(xué)活動與小結(jié)…………………（2課時(shí)） 六. 內(nèi)容安排 22.1 節(jié)以實(shí)際問題為背景, 引出一元二次方程的概念, 歸納出一元二次方程的一般形式, 給出一元二次方程的根的概念, 并提出一元二次方程的根會出現(xiàn)不唯一的情況. 這些概念是全章后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ). 22.2節(jié)討論一元二次方程的基本解法, 其中包括直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法等, 這一節(jié)是全章的重點(diǎn)內(nèi)容之一. 在本章之前的方程都是一次方程或可化為一次方程的分式方程, 一元二次方程是首次出現(xiàn)的高于一次的方程.解二次方程的基本策略是將其轉(zhuǎn)化為一次方程, 這就是“降次”. 本節(jié)首先通過解比較簡單的一元二次方程, 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識直接開平方法解方程; 然后討論比較復(fù)雜的一元二次方程, 通過對比一邊為完全平方形式的方程, 使學(xué)生認(rèn)識配方法的基本原理并掌握其具體方法; 有了配方法作基礎(chǔ), 再討論如何用配方法解一元二次方程的一般形式(), 就得到一元二次方程的求根公式, 于是有了直接利用公式的公式法, 并引出用判別式確定一元二次方程的根的情況. 本節(jié)在公式法后討論因式分解法解一元二次方程, 這種解法要使方程的一邊為兩個(gè)一次因式相乘, 另一邊為0, 再分別令每個(gè)一次因式為0. 這幾種解法都是依降次的思想, 將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程, 只是具體的降次手段有所不同. 本節(jié)最后增加了選學(xué)內(nèi)容“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”. 學(xué)習(xí)這一內(nèi)容可以進(jìn)一步加深對一元二次方程及其根的認(rèn)識, 為以后的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備. 22.3節(jié)安排了3個(gè)探究內(nèi)容, 結(jié)合實(shí)際問題, 分別討論傳播問題、增長率問題和幾何圖形面積問題. 一元二次方程與許多實(shí)際問題都有聯(lián)系, 本節(jié)不是按照實(shí)際問題的類型分類和選材的, 而是選取幾個(gè)具有一定代表性的實(shí)際問題來進(jìn)一步討論如何建立和利用方程模型, 重點(diǎn)在分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系并以方程形式進(jìn)行表示, 這種數(shù)學(xué)建模思想的體現(xiàn)與前面有關(guān)方程的各章是一致的, 只是在問題中數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜程度上又有新的發(fā)展, 數(shù)學(xué)模型由一次方程或可以化為一次方程的分式方程變?yōu)橐辉畏匠蹋? 本章從引言到小結(jié)始終保持貼近實(shí)際、貼近生活. 這樣安排主要目的是: 1. 反映客觀世界與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系; 2. 加強(qiáng)對應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的意識和能力的培養(yǎng). 目前的課程標(biāo)準(zhǔn)沒有將一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）列為必學(xué)內(nèi)容, 考慮到部分學(xué)有余力的學(xué)生可以進(jìn)一步擴(kuò)大對一元二次方程的認(rèn)識, 以及這個(gè)內(nèi)容是比較重要的數(shù)學(xué)知識, 教科書在22.2.4中安排了有關(guān)內(nèi)容供選學(xué), 希望能提供一些問題給部分學(xué)生去探究. 在本章小結(jié)中, 教科書再次強(qiáng)調(diào)一元二次方程與實(shí)際問題之間的聯(lián)系, 突出解一元二次方程的基本思路以及具體方法, 這是本章的重點(diǎn)內(nèi)容. 一元二次方程是本套初中數(shù)學(xué)教科書中所學(xué)習(xí)的最后一種方程, 從某種意義上說, 學(xué)習(xí)本章也具有對方程的學(xué)習(xí)進(jìn)行總結(jié)的作用． 七. 教學(xué)中應(yīng)注意一些的問題 （一）一元二次方程的有關(guān)概念 1. 了解一元二次方程的概念 （1）一元二次方程是整式方程; （2）它含有一個(gè)未知數(shù)（“一元”）, 未知項(xiàng)的最高次次數(shù)是2（“二次”）; （3）它的一般形式是: . 2. 能由一元二次方程的概念確定二次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范圍 只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí), 整式方程才是一元二次方程. 例1. ① 關(guān)于x的方程是一個(gè)一元二次方程, 則m的取值范圍是_________,一次項(xiàng)系數(shù)是_____________, 常數(shù)項(xiàng)是______________ ② 關(guān)于x的一元二次方程, 化成一般形式是_____________ 3. 一元二次方程的解(根)的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解(根) （1）一元二次方程作為整式方程, 在有解的情況下, 一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解; （2）區(qū)分“無解”與“無實(shí)數(shù)解”. 例2. 已知: a > b, 且有, ① a, b是否方程的根; ② 求a, b的值 例3. 關(guān)于x的方程(1–a)x2+2x+2=0有實(shí)根, 求a的取值范圍. （二）能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠? 在學(xué)習(xí)本章之前, 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程、二元一次方程組的解法, 并且學(xué)習(xí)了可以化為一元一次方程的分式方程的解法. 一元二次方程的解法與前面的方程的解法相比, 特點(diǎn)在于未知數(shù)的次數(shù)是2（二次）, 于是重點(diǎn)和難點(diǎn)在于如何將一元二次方程轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會解的一次方程. 1. 明確解一元二次方程是以降次為目的, 應(yīng)以直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法為手段, 從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解, 其中配方法更是尤為重要; 2. 理解配方法, 能熟練地選用包括直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法在內(nèi)的適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠? 3. 理解各種解法的依據(jù); 4. 各種解法應(yīng)強(qiáng)調(diào)的問題 （1）直接開平方 對于形如或的一元二次方程（即一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方, 而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)）, 可用直接開平方法求解. 形如的方程的解法: 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), 方程無實(shí)數(shù)根. 注意: 在進(jìn)行用直接開平方法解形如的方程的教學(xué)時(shí), 可有意識地滲透“換元法”的思想. （2）配方法 通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的形式, 當(dāng)時(shí), 可運(yùn)用直接開平方法求解. 配方法的一般步驟: ① 移項(xiàng): 把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊, 常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊; ② “系數(shù)化1”: 根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1; ③ 配方: 將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方, 把方程變形為的形式; ④ 求解: 當(dāng)時(shí), 方程的解為; 若時(shí), 方程無實(shí)數(shù)解． 注意: 在二次項(xiàng)系數(shù)為1的情況下, “方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)（絕對值）一半的平方”這是用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵步驟. （3）公式法 一元二次方程, 當(dāng)是, 方程的根為: 當(dāng)時(shí), 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等; 當(dāng)時(shí), 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等, 寫為; 當(dāng)時(shí), 方程無實(shí)數(shù)根． 公式法的一般步驟: ①把一元二次方程化為一般形式; ②確定的值; ③代入中計(jì)算其值, 判斷方程是否有實(shí)數(shù)根; ④若則代入求根公式求值, 否則, 原方程無實(shí)數(shù)根. 注意: 求根公式適用于任何一個(gè)有實(shí)根一元二次方程, 因此, 公式法是解一元二次方程的通法（使用時(shí)要先將方程化為一般式）, 但它不一定是解決具體問題時(shí)的最簡單的方法. 另外, 求根公式也反映處了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系. （4）因式分解法 ① 因式分解法解一元二次方程的依據(jù): 如果兩個(gè)因式的積等于0, 那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)的值為0; ② 因式分解法的一般步驟: 將方程化為一元二次方程的一般形式; 把方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積, 右邊等于0; 令每一個(gè)因式都為零, 得到兩個(gè)一元一次方程; 解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解. 注意: 因式分解的方法也可以幫助我們達(dá)到降次的目的. 對于系數(shù)是無理數(shù)或含字母系數(shù)的一元二次方程, 應(yīng)首先考慮選用因式分解法求解, 往往較為簡便. 5. 對于含有字母系數(shù)的一元二次方程 注意: 方程類型的確定和必要時(shí)對系數(shù)的分情況討論. 例4. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠? ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 例5. 解關(guān)于x的方程： ① ② ③ ④ ⑤ 例6. 用配方法解下列方程： ① ② （三）會用一元二次方程根的判別式判斷根的情況 1. 了解一元二次方程根的判別式概念, 會用判別式判定根的情況, 能利用根的判別式說明含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數(shù)的取值范圍（1）= （2）對于一元二次方程（） ①當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根; 當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根; 當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根; ②當(dāng)方程無實(shí)數(shù)根． 2. 常見的題型 （1）不解方程, 利用一元二次方程根的判別式, 判別一元二次方程根的情況; 例7. 不解方程, 判斷下列關(guān)于x的方程的根的情況: ① ② （2）已知一元二次方程的根的情況, 由根的判別式確定字母的取值范圍; 例8. 若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 求k的取值范圍 （3）應(yīng)用判別式, 證明一元二次方程根的情況 ①先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）; ②用配方法將判別式恒等變形; ③判斷判別式的符號; ④總結(jié)出結(jié)論. 例9. 已知a,b,c為實(shí)數(shù). 求證: 關(guān)于x的方程(x–a)(x–b)+(x–b)(x–c)+(x–c)(x–a)=0恒有實(shí)數(shù)根. （4）分類討論思想的應(yīng)用: 如果方程給出時(shí)未指明是二次方程, 后面也未指明方程有兩個(gè)根時(shí), 需要對方程進(jìn)行分類討論, 如果二次項(xiàng)系數(shù)為0, 方程可能是一元一次方程; 如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0, 方程是一元二次方程, 可能會有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根. 例10. 已知關(guān)于x的方程: , 在下列情況下, 分別求m的取值范圍: ① 方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根; ② 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根; ③ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 （5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識綜合命題, 解答時(shí)要在全面分析的前提下, 注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧. 例11. 已知: 關(guān)于x的方程 (a+c)x2+2bx–a+c=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. 問正數(shù)a,b,c是否可以作為一個(gè)三角形的三邊的長? 如果可以, 是什么形狀的三角形? （6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合. 例12. 當(dāng)k是什么整數(shù)時(shí), 方程(k2–1)x2–6(3k–1)x+72=0有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根 （7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題. 另外, 一元二次方程根的判別式對于日后學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象與橫軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)也有很好的鋪墊作用. （四）會運(yùn)用一元二次方程解決簡單的實(shí)際問題 1. 數(shù)字問題: 解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù), 奇偶數(shù), 連續(xù)整數(shù)等形式. 2. 幾何問題: 這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系, 構(gòu)建方程, 對結(jié)果要結(jié)合幾何知識檢驗(yàn). 3. 增長率問題: 在此類問題中, 一般有變化前的基數(shù)（）, 增長（下降）率（）, 變化的次數(shù)（）, 變化后的結(jié)果（）, 這四者之間的關(guān)系可以用公式表示. 一般采用直接開平方法求根, 結(jié)果一般要符合的要求. 4. “握手問題”是一種常見的題型, 建議歸納這種方程的模型, 幫助學(xué)生識別. 5. 面積問題要合理設(shè)未知數(shù), 方程模型為, 一般采取因式分解法或公式法求解, 結(jié)果要同時(shí)符合、兩個(gè)要求. 6. 其它實(shí)際問題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義, 若不符合實(shí)際意義, 則舍去）. 八. 適當(dāng)補(bǔ)充一些問題 （一）目前的課程標(biāo)準(zhǔn)沒有將一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）列為必學(xué)內(nèi)容, 考慮到部分學(xué)有余力的學(xué)生可以適當(dāng)擴(kuò)充. 定理的前提條件是: 二次項(xiàng)系數(shù). 例13. 根與系數(shù)關(guān)系補(bǔ)充內(nèi)容 ① 已知x1、x2是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 則 ② 已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根是 -2, 求它的另一個(gè)根 a 和 k 的值 ③ 已知x1、x2是方程 的兩個(gè)根, 求下列代數(shù)式的值: ; ; ; ④ 已知關(guān)于x的方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 a 和 b, 且有 a2 - ab + b2 = 12, 求a的值 ⑤ 在等腰△ABC中, 三邊分別為a、b、c, 已知 a = 3, 且b和c是關(guān)于x的方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 求△ABC的周長 （二）可化為一元二次方程的簡單的分式方程 例14. 解下列方程: ① ② 九. 幾個(gè)值得關(guān)注的問題 本章的主要內(nèi)容包括一元二次方程的基本概念、基本解法、應(yīng)用舉例等, 這些都是重要的基礎(chǔ)知識, 打好基礎(chǔ)很重要, 因此教學(xué)中應(yīng)注意使學(xué)生切實(shí)掌握它們. 此外, 本章教學(xué)應(yīng)特別關(guān)注以下問題. （一）教學(xué)中應(yīng)重視聯(lián)系實(shí)際問題, 加強(qiáng)對于數(shù)學(xué)建模思想的滲透 在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中, 應(yīng)重視相關(guān)內(nèi)容與實(shí)際的聯(lián)系, 可以選擇一些適合一元二次方程內(nèi)容而又接近本班學(xué)生生活的實(shí)際問題, 結(jié)合這些問題展開教學(xué)的內(nèi)容. 對于把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)一元二次方程的問題, 關(guān)鍵是弄清實(shí)際問題的背景, 找出實(shí)際問題中相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系, 并把這樣的關(guān)系 “翻譯”為一元二次方程. 這里需要指出, 正確地理解實(shí)際問題情境是完成這一工作的基礎(chǔ). （二）教學(xué)中應(yīng)結(jié)合一元二次方程的特點(diǎn), 從說理的角度討論方程的解法 本章所討論的對象是一元二次方程, 它的特殊性是其未知數(shù)為二次, 這是前所未見的. 將面臨的新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會解的老問題, 是解決問題的基本思路. 正因如此, 將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程, 即“降次”, 成為解一元二次方程的基本策略. 這也是化歸思想在解一元二次方程時(shí)的具體體現(xiàn). 教學(xué)中應(yīng)反復(fù)指出學(xué)習(xí)一元二次方程的解法時(shí)要了解以下兩點(diǎn): 1. 用配方法、因式分解法等解一元二次方程時(shí), 要通過適當(dāng)?shù)淖冃蜗仁狗匠剔D(zhuǎn)化為一元一次方程, 也就是使未知數(shù)從二次變?yōu)橐淮? 一元二次方程的降次變形, 是由一個(gè)二次方程得到兩個(gè)一次方程, 因此一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)根. . 2. 配方法是公式法的基礎(chǔ), 通過配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式, 它省略了具體的配方過程. 十. 本章滲透的數(shù)學(xué)思想與方法 教學(xué)中要讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的形成過程, 通過學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動, 逐步認(rèn)識問題的本質(zhì), 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法．本章涉及的重要數(shù)學(xué)思想方法較多, 如化歸思想、建模思想、配方法、換元法、降次法等等. 1．化歸思想 解方程中的化歸思想, 即逐步使方程變形為x=a的形式, 是解方程的基本指導(dǎo)思想, 它對各種方程都適用. 2．降次法 解二次（高次）方程的主要思想是降次, 配方法可以看作是開方降次, 因式分解法可以看作是分解降次, 它們的共同目的是將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程, 進(jìn)而求出方程的根．降次還有著廣泛的應(yīng)用. 3．換元法 學(xué)生在本章中接觸換元法, 這一方法在后續(xù)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用．用換元法解方程應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的特征, 方程中的未知數(shù)包含在相同的代數(shù)式中可以考慮設(shè)輔助未知數(shù)進(jìn)行“換元”．本章中還有一類題目只是把一個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)字母而不引進(jìn)輔助未知數(shù), 這是“換元法”思想的靈活運(yùn)用, 這一點(diǎn)應(yīng)適當(dāng)向?qū)W生說明. 4．配方法和對稱思想 配方法是代數(shù)式恒等變形中的一個(gè)重要方法, 學(xué)生已經(jīng)在學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)接觸過, 本章應(yīng)用配方法直接解方程, 進(jìn)一步推出求根公式, 更說明了其重要作用．配方法還可以靈活使用, 用來求代數(shù)式的值. 補(bǔ)充習(xí)題:（僅供參考） 一、選擇題 1. 下列說法中, 正確命題有（ C ） ①一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等 ②數(shù)據(jù)5，2，7，1，2，4的中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 ③等腰梯形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形 ④Rt△ABC中，∠C=90°，兩直角邊a，b分別是方程x2－7x＋7=0的兩個(gè)根，則AB邊上的中線長為 A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 2. 關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，且有，則的值是（ B ） A．1　　B．－1　　　C．1或－1　　　D．　2　 3. 一元二次方程根的情況是（ A ） A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 沒有實(shí)數(shù)根 4. 某商品原售價(jià)289元,經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元,設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,則下面所列方程中正確的是( A ) A. B. C. 289(1-2x)=256 D. 256(1-2x)=289 5. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是（D） A． B． C． D．或 6. 方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（ D ） A．2 B.3 C. －1，2 D. －1，3 7. 一元二次方程的解是（　C ?。? A. B. C. 或 D. 或 8. 若一元二次方程式 的兩根為0、2，則 之值為何？B A．2 　　　B．5 　　　C．7　　　 D． 8 9. 如圖(十三)，將長方形ABCD分割成1個(gè)灰色長方形與148個(gè)面積相等的小正方形。根據(jù)右圖，若灰色長方形之長與寬的比為5：3，則：＝？D A．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：29 10．關(guān)于方程式的兩根，下列判斷何者正確？A A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于－2，另一根大于2 C．兩根都小于0 D．兩根都大于2 11. 已知x=1是方程x2+bx-2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（ C ） A.1 B.2 C.-2 D.-1 12. 已知一元二次方程x2－4x+3=0兩根為x1、x2, 則x1·x2=（　B?。? A. 4 B. 3 C. －4 D. －3 13. 下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ C ） A． B． C． D． 14. 用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（ C ） A． B． C． D． 15. 下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（ D ） A. 方程x＋=－2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 方程x＋=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C. 方程x＋=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D. 方程x＋=a（其中a為常數(shù)，且|a|>2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 16. 一元二次方程x2=2x的根是 （ C ） A．x=2 B．x=0 C．x1=0, x2=2 D．x1=0, x2=－2 17. 已知關(guān)于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一個(gè)根是－a(a≠0)，則a－b的值為（ A ） A．－１ B．0 C．1 D．2 18. 關(guān)于x的方程的根的情況描述正確的是（ B ） A . k 為任何實(shí)數(shù)，方程都沒有實(shí)數(shù)根 B . k 為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C . k 為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D. 根據(jù) k 的取值不同，方程根的情況分為沒有實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根三種 19. 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列關(guān)于判別式 的判斷正確的是（ C ） A. B. C. D. 20．已知關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是( C ) A.a<2 B,a>2 C.a<2且a≠1 D.a<－2· 21. 已知x=1是方程x2+bx-2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（ C ） A.1 B.2 C.-2 D.-1 22. 已知3是關(guān)于x的方程x2－5x＋c＝0的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是（ B ） A. －2 B. 2 C. 5 D. 6 23. 若x1,x2(x1 ＜x2)是方程(x -a)(x-b) = 1(a < b)的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)x1,x2,a,b的大小關(guān)系為（B） A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a(chǎn)＜x1＜b＜x2 24. 某品牌服裝原價(jià)173元，連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)價(jià)為127元，下面所列方程中正確的是（ C ） A． B． C． D． 25. 若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3=0的兩個(gè)根，則x1x2的值是( B ) A．4． ?B．3．? C．－4．? D．－3． 26.設(shè)一元二次方程（x-1）（x-2）=m(m>0)的兩實(shí)根分別為α，β，則α，β滿足( D ) A. 1<α<β<2 B. 1<α<2 <β C. α<1<β<2 D.α<1且β>2 27. 一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（ D ） A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2 28. 一元二次方程的兩根分別為（ D ） A. 3, －5 B. －3，－5 C. －3,5 D.3，5 29. 一元二次方程的解是（　C ?。? A. B. C. 或 D. 或 二、填空題 1. 某公司4月份的利潤為160萬元，要使6月份的利潤達(dá)到250萬元，則平均每月增長的百分率是___25%____ 2. 若x=2是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則a 的值為______. 3. 若，是方程的兩個(gè)根，則=____3______． 4. 方程2x2+5x-3=0的解是 x1= -3,x2= 5. 方程的解為 6. 一元二次方程的解是 或 7. 關(guān)于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則方程的解是 x1=－4，x2=－1 。 8. 孔明同學(xué)在解一元二次方程x2-3x+c=0時(shí)，正確解得x1=1，x2=2，則c的值為 2 ． 9. 已知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式（a－b）（a＋b－2）＋ab的值等于____-1____. 10．已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根為2,則m=__1___,另一根是__-3_____. 11. 已知一元二次方程的兩根為a、b，則的值是____________． 12. 某城市居民最低生活保障在2009年是240元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增加，到2011年提高到元，則該城市兩年來最低生活保障的平均年增長率是_____20%__________． 13. 一元二次方程x2-4=0的解是 ±2 . 14. 如果關(guān)于x的方程（m為常數(shù)）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，那么m＝__1____． 15. 某小區(qū)2011年屋頂綠化面積為2000平方米，計(jì)劃2012年屋頂綠化面積要達(dá)到2880平方米．如果每年屋頂綠化面積的增長率相同，那么這個(gè)增長率是___20%______． 16. 如圖，鄰邊不等的矩形花圃ABCD，它的一邊AD利用已有的圍墻，另外三邊所圍的柵欄的總長度是6m．若矩形的面積為4m2，則AB的 長度是 1 m（可利用的圍墻長度超過6m）． 三、解答題 1. 如圖，用兩段等長的鐵絲恰好可以分別圍成一個(gè)正五邊形和一個(gè)正六邊形，其中正五邊形的邊長為（）cm，正六邊形的邊長為（）cm.求這兩段鐵絲的總長. 【答案】這兩段鐵絲的總長為420cm. 2. 為落實(shí)國務(wù)院房地產(chǎn)調(diào)控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建設(shè)力度．2011年市政府共投資2億元人民幣建設(shè)了廉租房8萬平方米，預(yù)計(jì)到2012年底三年共累計(jì)投資9.5億元人民幣建設(shè)廉租房，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率相同． (1)求每年市政府投資的增長率； (2)若這兩年內(nèi)的建設(shè)成本不變，求到2012年底共建設(shè)了多少萬平方米廉租房． 【答案】（1）市政府投資的增長率為50%； （2）到2012年底共建廉租房面積38（萬平方米）． 3. 關(guān)于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實(shí)數(shù)解是x1和x2。 （1）求k的取值范圍； （2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k為整數(shù)，求k的值。 【答案】（1）K的取值范圍是k≤0 （2）k的值為-1和0. 4. 某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每盆的盈利于每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系.每盆植入3株時(shí)，平均單株盈利3圓；以同樣的栽培條件，若每盆沒增加1株，平均單株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植多少株？ 小明的解法如下： 解：設(shè)每盆花苗增加株，則每盆花苗有株，平均單株盈利為元，由題意，得. 化簡，整理，的. 解這個(gè)方程，得 答：要使得每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植入4株或5株. 本題涉及的主要數(shù)量有每盆花苗株數(shù)，平均單株盈利，每盆花苗的盈利等，請寫出兩個(gè)不同的等量關(guān)系： 請用一種與小明不相同的方法求解上述問題。 【答案】（1）平均單株盈利株數(shù)=每盆盈利; 平均單株盈利=每盆增加的株數(shù); 每盆的株數(shù)=3+每盆增加的株數(shù) （2）要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植入4株或5株。 5. 商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元. 為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出 2件．設(shè)每件商品降價(jià)x元. 據(jù)此規(guī)律，請回答： （1）商場日銷售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代數(shù)式表示）； （2）在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場日盈利可達(dá)到2100元？ 【答案】（1） 2x 50－x （2）每件商品降價(jià)20元，商場日盈利可達(dá)2100元. 6. 已知|a-1|+=0，求方程+bx=1的解. 【答案】x1=-1，x2=. 7. 解方程： 【答案】x＝2或x＝－1 8. 廣安市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價(jià)對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺后，購房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價(jià)開盤銷售。 （1）求平均每次下調(diào)的百分率。 （2）某人準(zhǔn)備以開盤價(jià)均價(jià)購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米80元，試問哪種方案更優(yōu)惠？ 【答案】（1）平均每次下調(diào)的百分率10 （2）方案①更優(yōu)惠 9. 解方程x2－4x＋1=0 【答案】，． 10．已知關(guān)于x的方程的兩根為、，且滿足.求的值。 【答案】2 11. 解方程：x2 + 4x ? 2 = 0； 【答案】x = ?2 ±． 12.解方程：x2＋3x＋1=0． 【答案】?x1=－3＋?，x2=－3－ 13. 汽車產(chǎn)業(yè)是我市支柱產(chǎn)業(yè)之一，產(chǎn)量和效益逐年增加.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2008年我市某種品牌汽車的年產(chǎn)量為6.4萬輛，到2010年，該品牌汽車的年產(chǎn)量達(dá)到10萬輛.若該品牌汽車年產(chǎn)量的年平均增長率從2008年開始五年內(nèi)保持不變，則該品牌汽車2011年的年產(chǎn)量為多少萬輛？ 【答案】2011年的年產(chǎn)量為12.5萬輛. 14. 隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高及汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展，汽車已越來越多的進(jìn)入普通家庭，成為居民消費(fèi)新的增長點(diǎn)。據(jù)某市交通部門統(tǒng)計(jì)，2008年底全市汽車擁有量為15萬輛，而截止到2010年底，全市的汽車擁有量已達(dá)21.6萬輛。 (1) 求2008年底至2010年底該市汽車擁有量的年平均增長率； (2) 為了保護(hù)環(huán)境，緩解汽車擁堵狀況，從2011年起，該市交通部門擬控制汽車總量，要求到2012年底全市汽車擁有量不超過23.196萬輛；另據(jù)估計(jì)，該市從2011年起每年報(bào)廢的汽車數(shù)量是上年底汽車擁有量的10%。假定在這種情況下每年新增汽車數(shù)量相同，請你計(jì)算出該市每年新增汽車數(shù)量最多不能超過多少萬輛。 【答案】（1）20% （2）該市每年新增汽車數(shù)量最多不能超過3萬輛。 15. 某商店以6元/千克的價(jià)格購進(jìn)某干果1140千克,并對其起先篩選分成甲級干果與乙級干果后同時(shí)開始銷售,這批干果銷售結(jié)束后,店主從銷售統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn):甲級干果與乙級干果在銷售過程中每都有銷售量,且在同一天賣完;甲級干果從開始銷售至銷售的第x天的總銷售量(千克)與x的關(guān)系為;乙級干果從開始銷售至銷售的第t天的總銷售量(千克)與t的關(guān)系為,且乙級干果的前三天的銷售量的情況見下表: t 1 2 3 21 44 69 (1)求a、b的值. (2)若甲級干果與乙級干果分別以元/千克和6元/千克的零售價(jià)出售,則賣完這批干果獲得的毛利潤為多少元? (3)此人第幾天起乙級干果每天的銷售量比甲級干果每天的銷售量至少多千克?(說明:毛利潤=銷售總金額-進(jìn)貨總金額.這批干果進(jìn)貨至賣完的過程中的損耗忽略不計(jì).) 【答案】：（1）a=1,b=20. (2) 7. 16. 某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品共10件，其生產(chǎn)成本和利潤如下表： A種產(chǎn)品 B種產(chǎn)品 成本（萬元/件） 2 5 利潤（萬元/件） 1 3 （1）若工廠計(jì)劃獲利14萬元，問A,B兩種產(chǎn)品應(yīng)分別生產(chǎn)多少件？ （2）若工廠計(jì)劃投入資金不多于44萬元，且獲利多于14萬元，問工廠有哪幾種生產(chǎn)方案？ （3）在（2）的條件下，哪種生產(chǎn)方案獲利最大？并求出最大利潤． 【答案】（1）生產(chǎn)A種產(chǎn)品8件，B種產(chǎn)品2件； （2）可以采用的方案有： 共6種方案； （3）當(dāng)時(shí)可獲得最大利潤，其最大利潤為萬元。 17. 已知關(guān)于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2. （1）求k的取值范圍； （2）若，求k的值. 【答案】（1）. （2）k=﹣3. 18. 隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，尹進(jìn)所在的公司每年都在元月一次性的提高員工當(dāng)年的月工資.尹進(jìn)2008 年的月工資為2000 元，在2010 年時(shí)他的月工資增加到2420 元，他2011年的月工資按2008 到2010 年的月工資的平均增長率繼續(xù)增長. (1)尹進(jìn)2o11年的月工資為多少? (2)尹進(jìn)看了甲、乙兩種工具書的單價(jià)，認(rèn)為用自己2011年6 月份的月工資剛好購買若干本甲種工具書和一些乙種工具書，當(dāng)他拿著選定的這些工具書去付書款時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己計(jì)算書款時(shí)把這兩種工具書的單價(jià)弄對換了，故實(shí)際付款比2o11年6月份的月工資少了242 元，于是他用這242 元又購買了甲、乙兩種工具書各一本，并把購買的這兩種工具書全部捐獻(xiàn)給西部山區(qū)的學(xué)校.請問，尹進(jìn)總共捐獻(xiàn)了多少本工具書? 【答案】（1）尹進(jìn)2011年的月工資為2662元.? （2）尹進(jìn)捐出的這兩種工具書總共有23本. 19. 已知x1，x2 是關(guān)于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根． （1）求x1，x2 的值； （2）若x1，x2 是某直角三角形的兩直角邊的長，問當(dāng)實(shí)數(shù)m，p滿足什么條件時(shí)，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值． 【答案】（1） x1 = p， x2 = m + 2－p． （2）當(dāng)且m＞－2時(shí)，以x1，x2為兩直角邊長的直角三角形的面積最大，最大面積為或． 20. 閱讀材料： 如果，是一元二次方程的兩根，那么有. 這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，我們利用它可以用來解題，例是方程 的兩根，求的值.解法可以這樣： 則. 請你根據(jù)以上解法解答下題： 已知是方程的兩根，求： （1）的值； （2）的值. 第26頁, 共26頁