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1、1 材 料 力 學 課 后 習 題 講 解 2第 一 章 緒 論 31-1 圖 示 圓 截 面 桿 ， 兩 端 承 受 一 對 方 向 相 反 、 力 偶 矩 矢 量 沿 軸線 且 大 小 均 為 M 的 力 偶 作 用 。 試 問 在 桿 件 的 任 一 橫 截 面 m-m上存 在 何 種 內(nèi) 力 分 量 ， 并 確 定 其 大 小 。 解 ： （ 1） 假 想 地 沿 截 面 將 桿 切 開 ， 并 選 擇 切 開 后 的 左 段 為 研 究 對 象 。 由 于 桿 件 左 端 承 受 力 偶 矩 矢 量 沿 軸 線 且 大 小 為 M的 力 偶 作用 。 因 此 ， 在 截 面 m-m上

2、 存 在 扭 矩 Mx。 （ 2） 由 平 衡 方 程 即 得 截 面 m-m上 的 扭 矩 xM =0 0 xM M xM M Mx x其 真 實 方 向 與 假 設的 方 向 一 致 。 41-2 如 圖 所 示 ， 在 桿 件 的 斜 截 面 m-m上 ， 任 一 點 A處 的 應 力 p=120 MPa， 其 方 位 角 =20 ， 試 求 該 點 處 的 正 應 力 與 切 應 力 。 解 ： 應 力 p與 斜 截 面 m-m的 法 線 的 夾 角 =10 ， 根 據(jù) 關 系 式 故 2 2 2P sin 120 sin10 20.8MPap cos 120 cos10 118.2M

3、Pap n 5 1-3 圖 示 矩 形 截 面 桿 ， 橫 截 面 上 的 正 應 力 沿 截 面 高 度 線 性 分 布 ，截 面 頂 邊 各 點 處 的 正 應 力 均 為 max=100 MPa， 底 邊 各 點 處 的 正應 力 均 為 零 。 試 問 桿 件 橫 截 面 上 存 在 何 種 內(nèi) 力 分 量 ， 并 確 定 其大 小 。 圖 中 之 C點 為 截 面 形 心 。 解 ： 1.問 題 分 析 由 于 橫 截 面 上 僅 存 在 沿 截 面 高 度 線 性 分 布的 正 應 力 ， 因 此 ， 橫 截 面 上 只 存 在 軸 力 FN 及 彎 矩 Mz， 而 不 可 能 存

4、 在 剪 力 和 扭 矩 。 6則 ：2.內(nèi) 力 計 算 根 據(jù) 題 意 ， 設 .代 入 數(shù) 據(jù) 得 ：因 此 ky a 91 10 / ;k Pa m 650 10a Pa 9 6( ) 1 10 50 10y y b22( ) d 3.33 kN m( )dz hhA ky a y AM y A y 22( )d ( )d 200 kNN A hh ky aA AF y zy 7解 ： 微 元 直 角 改 變 量 稱 為 切 應 變 。 022aA 2-222bA 8第 二 章 軸 向 拉 伸 和 壓 縮 9軸 力 圖 ： NF解 ：(a)以 截 面 A的 形 心 為 坐 標 點 ， 沿

5、 桿 建 立坐 標 軸 x。 取 坐 標 為 x的 橫 截 面 得 到 平 衡方 程 ： 因 此 ， 2 0NF qa qx 2 (2 )NF qa qx q a x ,max 2NF qa xxm-m 101NF2NF(b)以 截 面 C 的 形 心 為 坐 標 原點 ， 沿 桿 建 立 坐 標 軸 x。 段 ， 利 用 截 面 法 得 平 衡方 程 ： 段 ， 同 理 BC qxF 1N AB2 0NF qa 2NF qa因 此 ： qaF maxN ， 軸 力 圖 ： 1 0NF qx x xa 12 111NF 1 2NF kN2NF3NF 3 3kNNF 2 1NF kN33,max

6、 6 23 10 N 60MPa50 10 mNt FA 31,max 6 22 10 40MPa50 10Nc F NA m A B C D1 2 3AB段BC段CD段最 大 拉 應 力最 大 壓 應 力 124545解 ： 桿 件 橫 截 面 上 的 正 應 力 為 由 于 斜 截 面 的 方 位 角 得 該 截 面 上 的 正 應 力 和 切 應 力 分 別 為 30 6 210 10 10MPa1000 10NF NA m 045 2 6 2 0045 cos 10 10 cos 45 5MPapa 6 0045 1sin2 10 10 sin90 5MPa2 2 pa 0 13解 ：

7、 由 題 圖 可 近 似 確 定 所 求 各 量 ： 彈 性 模 量 屈 服 極 限 強 度 極 限 伸 長 率 900220MPa 220 10 Pa 220GPa0.10E 240MPas 445MPab 0 0 00 0max100 28ll 由 于 ， 故 該 材 料 屬 于 塑 性 材 料 。0 00 028 5 sb 14解 ： （ 1） 由 圖 得 彈 性 模 量 （ 2） 當 時正 應 變 相 應 的 彈 性 應 變 ； 塑 性 應 變 230MPap 0.2 325MPa 350MPa 30.76 10 0.00076 p e00046.0e 0003.0p 比 例 極 限

8、屈 服 極 限 63350 10 700GPa0.5 10E 15解 ： 根 據(jù) 題 意 及 已 知 數(shù) 據(jù) 可 知 延 伸 率 斷 面 收 縮 率 由 于 故 屬 于 塑 性 材 料 。 22 11 0 0 00 0 022 2100 100 65.192 ddA AA d %5%4.26 %4.26%100%100 0 010 l llll 16 解 ： 桿 件 上 的 正 應 力 為 材 料 的 許 用 應 力 為 要 求 由 此 得 取 桿 的 外 徑 為 22 d-D F4AF ssn mmdFnss 87.194D 2 19.87mmD 17解 ： 1.軸 力 分 析 設 桿 1軸

9、 向 受 拉 ， 桿 2軸 向 受 壓 ， 其 軸 力 分別 為 和 ， 根 據(jù) 節(jié) 點 A的 平 衡 方 程 ；1NF 2NF0 xF 0yF 045cosF-F 21 NN 0F-45sinF 2N 1NF 2NF 1NF F 2 2NF F2.確 定 d 與 b 2 11 4 NsFdA 14 20NsFd mm 2 22 NFA b 2 84.1NFb mm 取取 20mmd 84.1mmb 18解 ： 1.軸 力 分 析 設 桿 1軸 向 受 拉 ， 桿 軸 2向 受 壓 ， 桿 1與桿 2的 軸 力 分 別 為 FN1和 FN2， 則 根 據(jù) 節(jié) 點C的 平 衡 方 程 得同 理

10、， 對 節(jié) 點 B進 行 分 析 得0 xF 2 1cos45 0oN NF F 0yF 1sin45 0oNF F （ 拉 力 ） F2F 1N （ 壓 力 ） FF 2N 2.確 定 F的 許 用 值 由 于 ， 因 此 只 需 保 證 桿 1安 全 即 可 。桿 1的 強 度 條 件 為故 ， 桁 架 所 能 承 受 的 最 大 載 荷 即 許 用 載 荷 為 AF2 2A22AF 2A2F 1NF 2NF1NF3NF FF 3N 3N21N NFFF 19解 ： 1.求 預 緊 力 由 公 式 和 疊 加 原 理 ， 故 有由 此 得 NF ll EA 3 31 2 1 21 2 3

11、2 2 21 2 3 1 2 34Fl lFl Fl l lFl l l l EA EA EA E d d d 31 22 2 21 2 3 18.65kN4 E lF ll ld d d 2.校 核 螺 栓 的 硬 度 根 據(jù) 題 中 數(shù) 據(jù) 知 此 值 雖 然 超 過 ， 但 超 過 的 百 分 數(shù) 在 5%以 內(nèi) ， 故 仍 符 合 強度 要 求 。 max 2min 24 514MPaF FA d 20 2-21 圖 示 硬 鋁 試 樣 ， 厚 度 =2mm， 試 驗 段 板 寬 b=20mm， 標 距 l=70mm。 在軸 向 拉 F=6kN的 作 用 下 ， 測 得 試 驗 段 伸

12、 長 l=0.15mm， 板 寬 縮 短 b=0.014mm。試 計 算 硬 鋁 的 彈 性 模 量 E與 泊 松 比 。 解 ： 軸 向 正 應 變 軸 向 正 應 力得 硬 鋁 的 彈 性 模 量由 于 橫 向 正 應 變 得 泊 松 比 %214.0%10070015.0 mmmmll pa105.1%100m1020102 N106bFAF 823-3- 3NN Gpa70%214.0 pa105.1E 8 %07.0-20014.0-bb mmmm 0.33 21解 ： 1.軸 力 分 析由得 2.確 定 及 值 根 據(jù) 節(jié) 點 A的 平 衡 方 程 得 F EA F EAF 221

13、l2lA 解 ： 1.計 算 桿 件 的 軸 向 變 形 由 （ 2-15） 可 知 ： （ 拉 力 ） KN50FF 1N （ 壓 力 ） KN250F2F 2N 3111 9 61 1 50 10 1.5 0.936mm200 10 400 10NF ll EA 32 22 9 62 2 50 2 10 1.5 1.875mm10 10 8000 10NF ll E A 桿 2的 縮 短 為桿 1的 伸 長 為由 胡 克 定 理 得 23 2.計 算 節(jié) 點 的 位 移 節(jié) 點 A水 平 位 移 節(jié) 點 A鉛 直 位 移 1 0.938mmxA l 1 20 0 3.589mmtan45

14、cos45y l lA 24解 ： 1.建 立 平 衡 方 程 由 平 衡 方 程 得 ： （ 1） 2.建 立 補 充 方 程 從 變 形 圖 中 可 以 看 出 ， 變 形 幾 何關 系 為利 用 胡 克 定 律 ， 得 補 充 方 程 為 0BM 1 2 2 2N NFa F a F a 1 22 2N NF F F 1 22 l l 1 22 N NF l F lEA EA （ 2） 3.強 度 計 算 聯(lián) 立 方 程 （ 1）和 方 程 （ 2） ， 得則 1 2 20kN5NF F 2 4 40kN5NF F 31 6 21 20 10 66.730 MP0 a10NF NA m

15、322 6 240 10 133.3MPa300 10NF NA m 1l 2l2NF1NF 因 為 ， 故 兩 桿 均 符 合 強 度 要 求 。 21 25第 三 章 扭 轉(zhuǎn) 26解 ： R0 - 2Ac rcos rydAy d dr 2Rsin= 32= A 12 R bA nnc 0 b0ydAy y ay dy n 1= = bn 2ay dy= A （ a）（ b） r Ac ydAy = AzSA Ac zdAz = AySA 27解 ： 44 4 4a Rz z z 2Ra a RI =I I = =12 64 12 4 （ ） （ ） 邊 長 為 a的 正 方 截 面 可

16、視 為 由 圖 示 截 面 和 一 個 半徑 為 R的 圓 截 面 組 成 ， 則 2AI = y dAz 2AI = z dAy 28解 .（ a） 沿 截 面 頂 端 建 立 坐 標 軸 z， ， y軸 不 變 。圖 示 截 面 對 z， 軸 的 形 心 及 慣 性 矩 為0.1 0.5 0 0.1Ac 0.35ydy 2 0.05ydyydAy = = =0.1833mA 0.35 0.1 2 0.4 0.05 0.1 0.5 2 2 2 -3 4z A 0 0.1I = y dy= y 0.35dy 2 y 0.05dy=4.25 10 m 則 ， 根 據(jù) 2 -3 4z z cI =

17、I Ay =1.73 10 m Z2z z0I =I +Aa得 ： 29（ b） 沿 截 面 頂 端 建 立 坐 標 軸 z， y軸 不 變2A=0.8 0.5 0.55 0.4=0.18m Ac 0.15 0.7 0.80 0.15 0.7ydAy = A0.5 ydy 2 0.05 ydy 0.5 ydy = m0.18 =0.3694m 0.15 0.7 0.8 2 2 2 2z A 0 0.15 0.7-2 4I = y dy=0.5 y dy 2 0.05 y dy 0.5 y dy =4.005 10 m 則 2 -2 4z z cI =I Ay =1.55 10 m Z 30O

18、C zy zoyo zy 解 ： 1.計 算 Iy0 ， Iz0 與 Iy0z0形 心 C的 位 置 及 參 考 坐 標 系 Oyz與Cy0z0 如 圖 所 示 。坐 標 系 Oyz中 ： Ac ydAy = A Ac zdAz = A2y AI = z dA計 算 形 心計 算 慣 性 距 ， 慣 性 積 2z AI = y dA yz AI = yzdA根 據(jù) 平 行 軸 定 理 計 算 相 應 Iy0 ， Iz0 與 Iy0z0坐 標 系 Cy0z0中 ： 2coy yI I Az 2oz z cI I Ay o oy z yz c cI I Ay z a 312.確 定 主 形 心 軸

19、 的 方 位zy根 據(jù) 式解 得 主 形 心 軸 的 方 位 角 為y a =3.計 算 主 形 心 慣 性 矩根 據(jù) 式由 此 得 截 面 的 主 形 心 慣 性 矩 為 yI zI 0 00 02tan2 y zz yII I 0 0 0 0max ymin cos2 sin22 2y y z z yzzI I I I I I II I 32解 ： （ 1） 1. 扭 力 偶 矩 計 算 kwN m rminpM =9549 n由 公 式知 ： 11 p 50M =9549 = 9549 N m=1591.5N mn 300 22 p 10M =9549 = 9549 N m=318.3N

20、 mn 300 33 p 20M =9549 = 9549 N m=636.6N mn 300 44 p 20M =9549 = 9549 N m=636.6N mn 300 332.扭 矩 計 算 設 輪 2與 輪 1、 輪 1與 輪 3、 輪 3與 輪 4間 的 扭 矩 分別 為 T1、 T2、 T3且 均 為 正 值 。 由 分 析 圖 可 知 ：1 2T=-M =-318.3N m 2 2 1T =-M +M = -318.3+1591.5 N m=1273.2N m 3 4T =M =636.6N m3.扭 矩 圖 T1 T2 T3T x318.3N.m1273.2N.m636.6N

21、.m 34（ 2） 若 將 輪 1與 3的 位 置 對 調(diào) ， 各 個 輪 的 扭 力 偶 矩 大 小 不 變 。扭 矩 計 算 1 2T M 318.3N m 2 2 3T M M 954.9N m 3 4M 636.6N mT 軸 承 受 的 最 大 扭 矩 減 小 ， 對 軸 的 受 力 有 利 。Tmax=954.9N.m1273.2N.m 35解 ： 切 變 模 量 9200 10 Pa 80GPa2 1 0.22 5EG 1 扭 轉(zhuǎn) 切 應 變 9 380 10 1.25 10 Pa 0. G aG 1 Pr 對 于 薄 壁 圓 管 截 面 2p 02 R 23 32 3.14 1

22、5.5 10 1 10 61.51 10 扭 矩 max p 60.1GPa 1.51 10T 151N m 扭 力 偶 矩 M T 151N m 36解 ： 空 心 圓 截 面 4 4132p D aI 12da D 故 43 4 7 43.14 40 10 1 0.5 2.355 10 m32pI 根 據(jù) 扭 轉(zhuǎn) 切 應 力 的 一 般 公 式 = pTI 則 A點 處 的 扭 轉(zhuǎn) 切 應 力 3 4A 71 15 10 Pa 6.37 10 Pa 63.7MPa2.355 10 當 D= 2 時 ， 有 -3max -71 20 10= Pa=84.9MPa2.355 10 當 d=2

23、時 ， 有 -3min -71 10 10= Pa=42.5MPa2.355 10 37解 ： 1.應 力 分 布 圖 考 查 知 識 ： 1.右 手 螺 旋 法 則 2. 3.切 應 力 互 等 定 理 = pTI 382.說 明 該 單 元 體 是 如 何 平 衡 的 力 平 衡力 偶 距 平 衡 39= cos 2ye 40得 41 42解 ：扭 矩 p 10T=M=9549 = 9549 N m=954.9N mn 100 實 心 軸 3p dW = 16 max pT=W 33 616T 16 954.9d = =39.3mm3.14 80 10 空 心 軸 12d= =0.6d 3

24、 42p dW = 116 max pT=W 32 416Td =41.2mm1 1 2d =0.6d =24.7mm 43解 ：扭 轉(zhuǎn) 角 的 變 化 率 d 0.0174rad rad= =0.174 mdx 100mm圓 截 極 面 慣 性 矩 4 -8 4p dI = =1.57 10 m32 由 圓 軸 扭 轉(zhuǎn) 變 形 的 基 本 公 式 pd T=dx GI 可 得 ：-8p 230T dG= = =84.19GPaI dx 0.174 1.57 10 44 45 46D 40mmm= = =5.71 10d 7mm 根 據(jù) 題 中 數(shù) 據(jù) 知所 以 max 38FD 4m 2=

25、371.9MPad 4m 3 所 以 ， 彈 簧 強 度 符 合 要 求 。3.校 核 彈 簧 強 度 max 400MPa 因 為 47解 ： 扭 矩 pT=M=9549 =2.29kN mn 強 度 條 件 max pT=W 31p dW = 16 31 16Td =66mm 剛 度 條 件 p maxTGI 42p dI = 32 4 32Td =68mmG 180 鋼 軸 要 求 同 時 滿 足 強 度 條 件 和 剛 度 條 件因 此 ， 軸 徑 d 68mm 48解 ： 1.扭 矩 計 算 設 AB與 BC的 扭 矩 均 為 正 ， 并 分 別 用 T1 、 T2表 示 。 利 用

26、 截 面 法 和 平 衡 方 程 得31T=2M=2 10 N m 32T =M=1 10 N m T1 T2 492.強 度 條 件 max pT=W 由 3p dW = 16 3 16Td 所 以 3 31 92 16 2 10d =50.3mm3.14 80 10d 39.9mm 3.剛 度 條 件 p maxTGI 由 4p dI = 32 4 32Td G 180 所 以 12d 73.5mmd 61.8mm 4.確 定 d1和 d2軸 要 求 同 時 滿 足 強 度 條 件 和 剛 度 條 件 ， 因 此 12d 84.2mmd 61.8mm 已 知 21 4dd = 3 當 d2

27、， max=61.8mm時 d1=84.2mm 50解 ： 1.建 立 平 衡 方 程 設 軸 A與 B端 的 支 反 力 偶 矩 分 別 為MA與 MB， 則 軸 的 平 衡 方 程 為xM =0 ， A 1 2M M M M 0 aB 2.建 立 補 充 方 程 由 于 AB兩 端 是 固 定 端 ， 則 AB=0所 以 ， 軸 的 變 形 協(xié) 調(diào) 條 件 為 AB AC CD DB= =0 b AC、 CD、 DB段 的 扭 矩 分 別 為1 AT= M 2 A 1T = M M 3 BT =MMA MBC D 靜 不 定 軸 51根 據(jù) 式 p T=GIl 得 相 應 的 扭 轉(zhuǎn) 角

28、分 別 為1 1 A 1AC p pT M= =GI GIl l A 1 2pM MGICD l B 3DB pM= GIl將 上 述 關 系 式 帶 入 （ b） ， 得 補 充 方 程 為 A BM M +240=0 c3.確 定 軸 的 直 徑聯(lián) 立 求 解 平 衡 方 程 （ a） 與 補 充 方 程 （ c） 得 AM = 20N m BM =220N m得 3 216Td =36.4mm 于 是 1T=20N m 2T = 380N m 3T =220N m 2maxmax 3p TT= = dW 16 52解 ： 1.建 立 平 衡 方 程 設 AB兩 端 的 支 反 力 偶 矩

29、 分 別 為 MA，MB， 則 軸 的 平 衡 方 程 為xM =0 A BM M M=0 a 2.建 立 補 充 方 程 由 于 A、 B兩 端 是 固 定 端 ， 則 AB=0所 以 ， 軸 的 變 形 協(xié) 調(diào) 條 件 為 AB AC CB= =0 AC與 CB段 的 扭 矩 分 別 為 1 AT= M 2 BT =MCMA MB 53相 應 的 扭 轉(zhuǎn) 角 分 別 為1 1AC p1T=GIl 2 2CB p2T=GIl得 補 充 方 程 A BM =2.561M b3.確 定 許 用 扭 力 偶 矩 M聯(lián) 立 （ a） 與 （ b） ， 解 得 MA=0.720M ； MB=0.281

30、M AC段 ： 1 Amax 311T M= = dW 16 31dM =5.61KN m16 0.720 CB段 ： 2 Bmax 322T M= = dW 16 32dM =5.24KN m16 0.281 因 此 ， 取 許 用 扭 力 偶 矩 M =5.24KN m 54第 四 章 彎 曲 內(nèi) 力 55(a)解 ： 1.計 算 支 反 力由 平 衡 方 程 y BF =0 M =0 ，得 ： F = ,By BF M Fl由 平 衡 方 程 y CF =0 M =0 ， , 2 2SC C l FlF F M F , 0SA AF F M F S By,B By B BF F F M

31、M F Fl 2.分 別 計 算 截 面 A+， C， B-的 剪 力 與 彎 矩SAF AM CSF CM-SBF-BM BMByF BMByF 56(b)解 ： 1.計 算 支 反 力由 平 衡 方 程 y AF =0 M =0 ，得 ： = ,e eAy ByM MF Fl l2.分 別 計 算 截 面 A+， C， B-的 剪 力 與 彎 矩由 平 衡 方 程 yF =0 M =0C ，= ,eSA A eMF M Ml ByFAyF, 0eSB B ByMF M Fl , 2 2e e eSC c eM M MlF M Ml l SAF AM CSF CM-SBF-BM BMByF

32、57(c)解 ： 1.計 算 支 反 力由 平 衡 方 程 y AF =0 M =0 ，得 ： = ,Ay BybF aFF Fa b a b 2.分 別 計 算 截 面 A+ ， C- ， C+ ， B-的 剪 力 與 彎 矩由 平 衡 方 程 yF =0 M =0C ，- -Ay C Ayb abF = , F a=a+b a+bSCF F M F ByFAyFAy Ayb= = , =0a+bSA AF F F M F By a-F =- , 0a+bSB B ByF F M F + +By C Bya ab-F =- , F b=a+b a+bSCF F M F 58(d)解 ： 1.

33、計 算 支 反 力由 平 衡 方 程 y AF =0 M =0 ，得 ： 2Aql ql 3l 3ql= ,M =- =-2 2 4 8AyF 2.分 別 計 算 截 面 A+ ， C- ， C+ ， B-的 剪 力 與 彎 矩由 平 衡 方 程 yF =0 M =0C ，- -+ + 2Ay A 2Ay C Ay A2C 3=F = , M =-2 8F = , F +M =-2 2 8, - =-2 2 4 8=0, 0SA ASCSCSB Bql qlF Mql l qlF Mql ql l qlF MF q M AyFAM 59(c)解 ： 1.計 算 支 反 力由 平 衡 方 程 y

34、 AF =0 M =0 ，得 ： = , =2Ay ByF F F F2.建 立 剪 力 與 彎 矩 方 程 以 截 面 B為 分 界 面 ， 將 梁 劃 分 為 AB與 BC兩 段 ， 并 選 坐 標 為x1， x2， 如 圖 所 示 。 AB段 的 剪 力 與 彎 矩 方 程 分 別 為1 21 A 1 1 2= 0 2. 0 2S Ay y lF F F x lM F x Fx x ByFAyFA CB1x 2xAyFA 1SF 1M1x (a)(b) 60BC段 的 剪 力 與 彎 矩 方 程 分 別 為 2 22 2 2= 0 20 2S lF F x lM Fx x 3.畫 剪 力

35、 與 彎 矩 圖根 據(jù) 式 （ a） 、 （ c） 畫 剪 力 圖S2F 2 2 2 C2M 2 2 2 2x (c)(d)SF 2 2 2 x(-) (+)-F F2 根 據(jù) 式 （ b） 與 （ d） 畫 彎 矩 圖(-)M x1-2lF可 見 ， 最 大 剪 力 與 最 大 彎 矩 分 別 為 s maxF =F max 1M = F2l 61 （ e） 解 ： 1.計 算 支 反 力根 據(jù) 平 衡 方 程 yF =0 AM =0Ay By 2BYF F 2q 02q F 2 q =0ll l l l 得 ： Ay 3F = q2 l By 1F = q2 l2.建 立 剪 力 與 彎

36、矩 方 程以 截 面 B為 界 面 將 梁 劃 分 為 AB和 BC兩 段 ， 并 選 坐 標 如 圖 所 示 。AB段 的 剪 力 與 彎 矩 方 程 分 別 為 ： s1 Ay 1 1 13F =F qx = q qx 0 x 22 l l 211 Ay 1 1 1 1 1x 3 1M=F x qx = qx qx 0 x 22 2 2l l By FAyFAyF 1SF 1M 1x 2x（ a）（ b）BA1x 62BC段 的 剪 力 與 彎 矩 方 程 分 別 為 s2 2F =0 0 x l 22 2M =q 0 xl l 3.畫 剪 力 與 彎 矩 圖根 據(jù) 式 （ a） 與 （

37、c） 畫 剪 力 圖 根 據(jù) 式 （ b） 與 （ d） 畫 彎 矩 圖可 見 ， s max 3F = q2 l 2max 9 3M = q x=8 2l l S2F 2 2 22M 2 2 2 （ c）（ d）SF 2 2 2 Mx x32l32ql 12ql 298ql 2ql2x （ +）（ +） （ -） 63 （ f） 解 ： 1.計 算 支 反 力由 平 衡 方 程 yF =0 AM =0Ay By2 By1q F F =021q q F =02 4l ll l l Ay 5F = q8 l By 9F = q8 l2.建 立 剪 力 與 彎 矩 方 程 s1 Ay 1 1 15

38、F = F qx = q qx 0 x8 2ll 211 Ay 1 1 1 1 1x 5 1M= F x qx = qx+ qx 0 x2 8 2 2ll BA得 ： C ByFAyF以 截 面 C為 界 面 將 梁 劃 分 為 AC和 CB兩 段 ， 并 選 坐 標 如 圖 所 示 。1x 2xAC段 的 剪 力 與 彎 矩 方 程 分 別 為 ：1SF 1M1x （ a）（ b） 64s2 By 29F =F = q 0 x8 2ll 2 22 By 2 2 29M =q F x =q qx 0 x8 2ll l l 3.畫 剪 力 與 彎 矩 圖根 據(jù) 式 （ a） 與 （ c） 畫 剪

39、 力 圖 根 據(jù) 式 （ b） 與 （ d） 畫 彎 矩 圖可 見 ， s max 9F = q8 l 2maxM =qlBC段 的 剪 力 與 彎 矩 方 程 分 別 為S2F 2 2 22M 2 2 2 2x M xSF 2 2 2 x58ql 98ql（ +） （ +）2716ql 2ql（ c） （ d） 65（ C） 解 ： 1.計 算 支 反 力由 平 衡 方 程 yF =0 AM =0得 By Ay Byq F F q =02 21 3q q F =02 4 2 4l ll l l l l AyBy 1F = q41F = q4 ll 2.計 算 剪 力 與 彎 矩將 梁 分 為

40、 AC與 CB兩 段 ， 利 用截 面 法 ， 求 的 各 段 的 起 點 與 終 點剪 力 與 彎 矩 分 別 為1 , 0;4SA AF ql M 1 , 0;4SC CF ql M 1 , 0;4SC CF ql M 1 , 04SB BF ql M BA C ByFAyF 663.畫 剪 力 與 彎 矩 圖 由 于 梁 上 受 均 勻 載 荷 作 用 ， 各 梁 段 的 剪 力 圖 為 斜 直 線 ， 彎 矩圖 為 二 次 拋 物 線 （ AC段 q大 于 0， 則 拋 物 線 呈 凹 形 ； CB段 q小 于0， 則 拋 物 線 呈 凸 形 ） 。剪 力 圖Fs x（ -） （ +）

41、 （ -）14ql 14ql14ql 彎 矩 圖 2132ql2132ql （ +）（ -）M x 67（ e） 1.計 算 支 反 力 由 對 稱 條 件 可 得 ：12 2 4Ay By ql qlF F 2.計 算 剪 力 和 彎 矩1 , 04SA AF ql M 21 1, ;4 16SC CF ql M ql 21 1,4 16SC CF ql M ql 21 1,4 16SD DF ql M ql 21 1, ;4 16SD DF ql M ql 1 , 04S BF ql M B BA C D ByFAyF將 梁 分 為 AC， CD與 DB三 段 ， 利 用 截 面 法 ，

42、求 的 各 段的 起 點 與 終 點 剪 力 與 彎 矩 分 別 為 683.畫 剪 力 與 彎 矩 圖 梁 AC， BD段 無 分 布 載 荷 作 用 ， 則 其 剪 力 圖 均 為 水 平 直 線 ，彎 矩 圖 為 斜 直 線 。 CD受 均 勻 載 荷 作 用 ， 且 q大 于 0， 則 其 剪 力 圖為 斜 直 線 ， 彎 矩 圖 為 凹 形 拋 物 線 。剪 力 圖Fs x14ql 彎 矩 圖 2116ql 2332ql（ +）（ -） 14ql （ -）M x 69（ f） 解 ： 1.計 算 支 反 力由 平 衡 方 程 yF =0 AM =0Ay 2 =032 =03 3 3B

43、yAyF F ql qlql l lF l ql AyBy 5F = q910F = q9 ll 2.計 算 剪 力 與 彎 矩 將 梁 分 為 AC， CD與 DB三 段 ，利 用 截 面 法 ， 求 的 各 段 的 起 點與 終 點 剪 力 與 彎 矩 分 別 為 ：5 , 0;9SA AF ql M 22 17, ;9 54SD DF ql M ql 解 得 ： BA C ByFAyF 25 5, ;9 27SC CF ql M ql 25 5, ;9 27SC CF ql M ql D27 17, ;9 54SD DF ql M ql 10 , 09SB BF ql M 703.畫 剪

44、 力 與 彎 矩 圖 梁 AC段 無 分 布 載 荷 作 用 ， 則 其 剪 力 圖 均 為 水 平 直 線 ， 彎 矩圖 為 斜 直 線 。 CD， DB段 受 均 勻 載 荷 作 用 ， 且 q小 于 0， 則 其 剪力 圖 為 斜 直 線 ， 彎 矩 圖 為 凸 形 拋 物 線 。剪 力 圖Fs x 彎 矩 圖 2527ql（ +） （ -）59ql （ +）29ql 109 ql79ql 1754qlM x 71解 ： 1.計 算 支 反 力由 平 衡 方 程 yF =0 AM =0得 Ay 2 =0( ) =0By ByF F FF F d F l AyByF = (2 2 )(0

45、( )F = (2 )F l dl l dF dl BA C D ByFAyF 722.畫 剪 力 ， 彎 矩 圖 各 段 梁 均 無 分 布 載 荷 作 用 ， 則 其 剪 力 圖 均 為 水 平 直 線 ， 彎矩 圖 為 斜 直 線 。(2 2 ) 0; ( 2 );(2 ) 0; ( )SA Ay SC AySD By SD SD SAF FF F l d F F F l dl lFF F d F F Fl 則 ： 剪 力 圖 為Fs x 0 2l d （ +） （ -）AyF （ +）M xCF 2l d l 733.確 定 最 大 彎 矩 值 及 小 車 位 置 由 M-x圖 可 判

46、 斷 ， 最 大 彎 矩 必 在 F作 用 處 。利 用 截 面 法 求 左 輪 的 彎 矩 ： 2( ) (2 ) 2 Ay FM F l dl (0 ( )l d 當 2 4l d 時 ， 2max (2 )8F l dM l由 對 稱 性 可 知 ， 當 2 2 34 4l d l dl d 時 ，右 輪 處 有 最 大 彎 矩 值 2max (2 )8F l dM l 744.確 定 最 大 剪 力 值 及 小 車 位 置由 FS-x圖 可 判 斷 ， 最 大 剪 力 只 能 出 現(xiàn) 在 左 段 或 右 段 ， 其 剪 力 方 程1 2(2 2 ); (2 )S S ByF FF l

47、d F F dl l Fs1和 Fs2都 是 的 一 次 函 數(shù) ， 所 以 當 =0時 ， 即 小 車 右 輪 在 A點 處 ， l d 1,max (2 )s FF l dl 當 時 ， 即 小 車 右 輪 在 B點 2 max (2 )s FF l dl 故 當 0 或 時 ， 梁 的 最 大 剪 力 值 為 (2 )F l dl l d 75解 ： 1.計 算 支 反 力 由 梁 的 對 稱 條 件 可 知 ByFAyF C B1x 2xA2.計 算 剪 力 與 彎 矩將 梁 分 為 AC與 CB兩 段 ， 利 用 截 面 法 ， 求 的 各 段 的 起 點 與終 點 剪 力 與 彎

48、矩 分 別 為梁 段 AC CB 橫 截 面 A+ C- C+ B- 剪 力 0 0 彎 矩 20112ql014ql 014ql20112ql 00 763.判 斷 剪 力 與 彎 矩 圖 的 形 狀梁 段 AC CB載 荷 集 度 q漸 減 ， 故 q漸 增 ， 故剪 力 圖 凸 曲 線 凹 曲 線彎 矩 圖 凸 曲 線 凸 曲 線0F q 0F q 3.畫 剪 力 和 彎 矩 圖剪 力 圖 彎 矩 圖0M q 0M q 77利 用 剪 力 ， 彎 矩 與 載 核 集 度 間 的 關 系 畫 剪 力 與 彎 矩 圖1.計 算 支 反 力 2.計 算 各 段 起 點 與 終 點 截 面 的

49、剪 力 與 彎 矩 值3.判 斷 剪 力 與 彎 矩 圖 的 形 狀載 荷 集 度 q（ x） =常 數(shù) 0剪 力 圖 水 平 直 線 下 傾 直 線 上 傾 直 線彎 矩 圖 斜 直 線 凸 曲 線 凹 曲 線( ) 0q x 0F q 載 荷 集 度 q漸 增 ， 故 q漸 減 ， 故剪 力 圖 凹 曲 線 凸 曲 線彎 矩 圖 凸 曲 線 凹 曲 線 凸 曲 線 凹 曲 線0F q 均 勻 載 荷 ：線 性 分 布 載 荷 ： 0M q 0M q 0M q 0M q 4.畫 剪 力 與 彎 矩 圖 78第 五 章 彎 曲 應 力 79解 ： 1.畫 彎 矩 圖 判 斷 Mmax由 平 衡

50、 方 程 得 2.5KN; 7.5KN mAy AF M 微 分 法 畫 彎 矩 圖( 7.5KN m; 5KN m; 0)A B B CM M M M (+)M x7.5KN m5KN mAyFAM CBA max 7.5KN mM 2.計 算 彎 曲 正 應 力ZMyI max maxmax 176MPaZM yI max KK 132MPaZM yI max ZMW 80AyF ByF解 ： 1.畫 彎 矩 圖由 平 衡 方 程 得 3 1;4 4Ay ByF qa F qa 利 用 彎 矩 方 程 畫 彎 矩 圖 23(0 ): 2 4 21 1( 2 ): 2 4Ay x qAC x

51、 a M F x qx qx xCB a x a M qa qx 段段 (+)M x2932qa14qa 2max 93214CM qaM qa34a 2.計 算 最 大 彎 曲 正 應 力,max 60MPaCC ZM EW max maxmax 67.5MPa60CZM MMW 5-5.圖 示 簡 支 梁 ， 由 工 字 鋼 制 成 ， 在 集 度 為 q的 均 勻 載 荷 作 用下 測 得 橫 截 面 C底 邊 的 縱 向 正 應 變 ， 試 計 算 梁 內(nèi) 的 最 大彎 曲 正 應 力 ， 已 知 剛 的 彈 性 模 量 E=200GPa， a=1m。No18 4=3.0 10 81解

52、 ： 0.16 0.22 2 20 0.164 42 0.02 26.79 10 mZ AI y dA y dy y 1. 在 中 性 軸 y=0處 2 2max 0 43.8MPa8 sZF bh b hI 2. 在 處2hy 2 2min 0 38.2MPa8 sZF bh bhI minmax 5-8 梁 截 面 如 圖 所 示 ， 剪 力 Fs=300KN， 試 計 算 腹 板 上 的 最 大 ， 最 小 彎 曲 切 應 力 與 平 均 切 應 力 。 8220 2 2 2 22 00 2 2 202min2 ( ) ( ) 44 1 ( ) 4 2 342.0MPa12h hsZsZ

53、 s zy dyhF b h h h y dyI hF b h h hI hFhI 3.計 算 平 均 切 應 力 2 2 2 20( ) ( ) 48 sZFy b h h h yI 腹 板 上 的 切 應 力 沿 腹 板 高 度 呈 拋 物 線 分 布 83解 （ 1） 1.畫 彎 矩 圖由 平 衡 方 程 ， 解 得 ：5KN; 13KN mBy BF M B C DByFBM 微 分 法 畫 彎 矩 圖( 13KN m; 3KN m; 0)B C C DM M M M (-)M x13KN m 3KN m max 13KN mM 842.根 據(jù) 強 度 要 求 確 定 b maxmax

54、 2 326 3ZZ MWbhW b 3 max3 124.9mm2Mb （ 2） 校 核 安 全d b 2b 3 3 4 41 2 (2 ) ( ) 1.6 10 m12 12ZA Z Z b b b dI I I 10KN mAM 3 3maxAmax 410 10 124.9 10= Pa 7.8MPa1.6 10AZAM yI 由 于 max 10MPaA 所 以 安 全 。 85解 ： 1.計 算 截 面 形 心 及 慣 性 矩沿 截 面 頂 端 建 立 坐 標 軸 z， ， y軸 不 變 。Z 0.05 0.20 0.050.15 0.05 0.096m0.15 0.05 2 0.

55、2 0.05AC yd ydy ydy yAA 4 41 22 1.02 10 mZ Z ZI I I 2.畫 彎 矩 圖由 平 衡 方 程 得微 分 法 畫 彎 矩 圖 C 10KN; 10KN my CF M A B C CyF CMA BB C( 0; 30KN m40KN m; 10KN m)M MM M ； (-)M x30KN m 40KN m(+) 10KN m 863.判 斷 危 險 點 及 校 核 強 度由 彎 矩 圖 知 B截 面 兩 端 為 危 險 截 面B-截 面 CM ab ,maxc,max= 28.2MPa= 45.3MPaB at ZB bZM yIM yI B

56、+截 面 cd CM c,maxt,max = 37.6MPa= 60.4MPaB cZB dZM yIM yI 綜 上 ： ,max ,max60.4MPa ; 45.3MPat t c c 因 此 ， 梁 的 彎 曲 強 度 不 符 合 要 求 87解 ： 1.計 算 yc ， IZ 6 432.22mm ; 3.142 10 mc Zy I 2.確 定 F當 0 l 時 ( );Ay ByF l FF Fl l 2( )Ay FM F ll AyF ByF故 時 max1 ,2 4FlM b maxMa max,max 1maxt,max 2 4= 54.6KN4= 6.48KNZ ca

57、c cZ aZ tb tZ bIM y FI ylIM y FI yl 88當 32l l 時 ( );Ay ByF l FF Fl l AyF ByF故 時 max3 ,2 2Fll M c max,max 3maxc,max 4= 6.83KN2= 12.98KN2c Z tt tZ cd Z ccZ dM y IFI ylM y IFI y l 彎 矩 圖 (-)M xBmax ( )AyBM M F l F l d maxM綜 上 ： 6.48KNF F 89解 ：F直 接 作 用 時 ：彎 矩 圖 M x32F(+) max max max1,max 3 1.32Z ZM y F y

58、I I F間 接 作 用 時 ：彎 矩 圖 M x32 2F a (+) maxmax max2,max 3 22Z ZaF yM yI I 聯(lián) 立 解 得 ： 1.385ma所 以 輔 助 梁 的 最 小 長 度 a為 1.385m 90解 ： 由 圖 分 析 知 固 定 端 截 面 A為 危 險 截 面1 22 ;yA z zA yM Fx Fl M F x Fl 1.截 面 為 矩 形 ， 確 定 h， by z+ + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - C 由 分 析 圖 及 疊 加 原 理 可 知 ：d點 有 最

59、 大 拉 應 力 ， f點 有 最 大 壓 應 力其 值 均 為 ：daef max 2 26 62 (2 )yA yAzA zAy zM MM MW W b b b b max 由 解 得 35.6mmb故 2 71.2mmh b 912.截 面 為 圓 形 ， 確 定 dzy 123 4 由 分 析 圖 及 疊 加 原 理 可 知 ：在 1,3區(qū) 邊 緣 某 點 分 別 有 最 大 拉 應 力 ， 最 大 壓 應 力其 值 均 為 ：max max( )yA yAzAy z yM z MM y z yI I I max 22yyM dI 由 于 cos ( sin ) 2 sin( )4z

60、 y r r r 得 max 2( ) 2 2z y r d 所 以 52.3mmd 92解 ： 1.繪 制 橫 截 面 上 的 正 應 力 分 布 圖210MPa84MPaa ab b EE 偏 心 拉 伸 問 題 ， 正 應 力 沿 截 面高 度 線 性 分 布正 應 力 分 布 圖 ： 2.求 F和 e 將 F平 移 至 桿 軸則 FN=F， M=Fe解 得 ： F=18.38KN e=1.785mm 93解 ：F 3350 10 Pa 10MPa250 10bs bsFab c 20mmc 3350 10 Pa 1MPa250 10Fbl l 200mml由 1( )2e a c 得

61、1 ( )2M Fe F a c ,maxt tzF MA W 147mmcFF F 94第 六 章 彎 曲 變 形 95附 錄 E解 ： 1.建 立 撓 曲 軸 近 似 微 分 方 程 并 積 分由 對 稱 條 件 可 知AyF ByF 1 ( )2Ay ByF F ql 梁 的 彎 曲 方 程 為 2( ) ( )2 2Ay x qM x F x qx lx x 代 入 2 2 ( )d w M xdx EI 得 2 22 ( )2d w q lx xdx EI 積 分 ， 依 次 得 2 31 1( )2 2 3dw q lx x Cdx EI 3 41 1( )2 6 12qw lx

62、x Cx DEI (1) 962.確 定 積 分 常 數(shù) ， 建 立 轉(zhuǎn) 角 與 撓 度 方 程A,B為 鉸 支 座 ， 故 梁 的 位 移 邊 界 條 件 為 0Aw 0Bw (2)聯(lián) 立 (1),(2)解 得 324qlC EI 0D因 此 2 3 32 3 3(6 4 )24 (2 )24q lx x lEIqxw lx x lEI （ 3）3.繪 制 撓 曲 軸 略 圖 并 計 算 wmax， ,A B 彎 矩 圖 （ +）M x撓 曲 軸 略 圖w x（ -）令 0dwdx 得 (0 )2lx x l 所 以 4max 2 5384lx qlw w EI 由 式 （ 3） 知 30

63、24A x qlEI 324B x l qlEI 97解 ： 1.建 立 撓 曲 軸 近 似 微 分 方 程 并 積 分根 據(jù) 梁 的 平 衡 方 程 解 得 ( ); ( )e eAy ByM MF Fl l 梁 的 彎 曲 方 程 為 ( ) eAy MM x F x xl 代 入 2 2 ( )d w M xdx EI 得 2 2 eMd w xdx lEI積 分 ， 依 次 得 22 eMdw x Cdx lEI 36 eMw x Cx DlEI (1) 982.確 定 積 分 常 數(shù) ， 建 立 轉(zhuǎn) 角 與 撓 度 方 程A,B為 鉸 支 座 ， 故 梁 的 位 移 邊 界 條 件

64、為 0Aw 0Bw (2)聯(lián) 立 (1),(2)解 得 6 eM lC EI 0D因 此 2 22 2( 3 )6 ( )6 eeM l xlEIM xw l xlEI （ 3）3.繪 制 撓 曲 軸 略 圖 并 計 算 wmax， ,A B 彎 矩 圖 （ -）M x撓 曲 軸 略 圖w x（ -）令 0dwdx 得 3lx所 以 2max 3 9 3elx M lw w EI 由 式 （ 3） 知 0 6 eA x M lEI 3 eB x l M lEI 99解 ： 1.建 立 撓 曲 軸 近 似 微 分 方 程 并 積 分根 據(jù) 梁 的 平 衡 方 程 解 得 ( ); ( )e eA

65、y ByM MF Fl l 1 1 1( ) eAy MM x F x xl 2 1 1 121 ( ) eMd w M x xdx EI lEI 211 1 11 2 eMdw x Cdx lEI 31 1 1 1 16 eMw x Cx DlEI (1)10由 于 AC與 CB段 彎 矩 方 程 不 同 ， 因 此 ， 撓 曲 軸 近 似 微 分 方 程應 分 段 建 立 ， 并 分 別 積 分AC段 10 x a CB段 2a x l 2 2 2( ) ( ) ( )eBy MM x F l x l xl 2 2 2 222 ( ) ( )eMd w M x l xdx EI lEI 2

66、22 2 2 22 1( )2eMdw lx x Cdx lEI 2 32 2 2 2 2 21 1( )2 6eMw lx x C x DlEI (2) 1002.確 定 積 分 常 數(shù) ， 建 立 轉(zhuǎn) 角 與 撓 度 方 程A,B為 鉸 支 座 ， 故 梁 的 位 移 邊 界 條 件 為 0Aw 0Bw (3)聯(lián) 立 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 解 得 221 1( )2 3eM lC al alEI 1 0D 因 此 2 2 22 2 2( 3 3 );(0 )6 (6 3 2 3 );( )6 eeM l b x x alEIM lx a l x a x llEI 位 移 連 續(xù) 條 件 ： 在 x1=x2處 1 2 1 2;w w (4) 222 1( )2 3eM lC alEI 22 2eM aD EI2 2 22 2( 3 );(0 )6 ( )(3 2 );( )6eeM x l b x x alEIw M l x a lx x a x llEI (5) 1013.繪 制 撓 曲 軸 略 圖 并 計 算 撓 曲 軸 略 圖w x令 11 0dwdx 得 3