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第3節(jié) 合情推理與演繹推理,Ⅰ.了解合情推理的含義，能進行簡單的歸納推理和類比推理，體會合情推理在數學發(fā)現中的作用． Ⅱ.了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的“三段論”，并能運用“三段論”進行一些簡單推理． Ⅲ.了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異．,,,整合·主干知識,1．合情推理,全部對象都具有這些特征,某些已知特征,一般結論,部分,整體,個別,一般,特殊,特殊,歸納,類比,2.演繹推理 (1)定義：從_____________出發(fā)，推出_______________下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理； (2)特點：演繹推理是由____________的推理； (3)模式：三段論．“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：,一般性的原理,某個特殊情況,一般到特殊,一般原理,特殊情況,M是P,S是M,質疑探究：演繹推理所獲得的結論一定可靠嗎？ 提示：不一定，只有前提是正確的，推理形式是正確的，結論才一定是真實的，錯誤的前提則可能導致錯誤的結論．,A．大前提錯誤導致結論錯 B．小前提錯誤導致結論錯 C．推理形式錯誤導致結論錯 D．大前提和小前提錯誤導致結論錯 解析：圖為對于函數y＝ax，當a1時為增函數． 當0a1時，為減函數，所以大前提錯誤．故選A. 答案：A,2．給出下列三個類比結論． ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中結論正確的個數是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：只有③正確．故選B. 答案：B,3．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10( ) A．28 B．76 C．123 D．199 解析：觀察規(guī)律，歸納推理．從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123. 答案：C,根據以上事實，由歸納推理可得： 當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.,,聚集·熱點題型,[典例賞析1] (1)觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此規(guī)律，第n個等式可為________．,歸納推理,[思路索引](1)觀察等式的左右兩側各自的特點歸納可解． (2)總結點的變化規(guī)律，再看直線和曲線的變化規(guī)律，寫出此(語言)命題相似的內容． [解析] (1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，,[拓展提高] 本題實質是根據前幾項，歸納猜想一般規(guī)律，歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結論不一定正確，通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現一般性規(guī)律的重要方法．,,類比推理,[思路索引](1)由平面性質：S1與S2之比為對應半徑之比可類比得正四面體中V1與V2之比為對應體積之比，正四面體中求得外接球與內切球半徑即可．(2)把橢圓性質和雙曲線性質類比結合解三角形推導結論．,,[答案] (1)D (2)e|sin A－sin B|＝sin C,[拓展提高] (1)類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為,,①找出兩類事物之間的相似性或一致性； ②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想)． (2)類比推理的關鍵是找到合適的類比對象．平面幾何中的一些定理、公式、結論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結論．,演繹推理,[拓展提高] (1)演繹推理的結構 演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結論三部分組成的．三段論推理中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況．這兩個判斷聯(lián)合起來，提供了一般原理和特殊情況的內在聯(lián)系，從而產生了第三個判斷：結論．,(2)演繹推理的理論依據 其推理的依據用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P.,[備課札記] ____________________________________________________________________________________________________,,提升·學科素養(yǎng),(理)歸納不準確致誤,(注：對應文數熱點突破之五十一),如圖所示，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標分別對應數列{an}(n∈N*)的前12項，如下表所示．,,按如此規(guī)律下去，則a2 013＋a2 014＋a2 015等于( ) A．1 004 B．1 007 C．1 011 D．2 014 [解析] a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，這個數列的規(guī)律是奇數項為1，－1,2，－2,3，…，偶數項為1,2,3，…，故a2 013＋a2 015＝0，a2 014＝1 007，故a2 013＋a2 014＋a2 015＝1 007. [答案] B,[易錯分析] 本題中的“按如此規(guī)律下去”就是要求由題目給出的6個點的坐標和數列的對應關系，歸納出該數列的一般關系．可能出現的錯誤有兩種：一是歸納時找不準“前幾項”的規(guī)律，胡亂猜測；二是弄錯奇偶項的關系．本題中各個點的縱坐標對應數列的偶數項，并且逐一遞增，即a2n＝n(n∈N*)，各個點的橫坐標對應數列的奇數項，正負交替后逐一遞增，并且滿足a4n－3＋a4n－1＝0(n∈N*)，如果弄錯這些關系就會得到錯誤的結果，如認為當n為偶數時an＝n，就會得到a2 013＋a2 014＋a2 015＝2 014的錯誤結論，而選D.,[溫馨提醒] 由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏輯證明和實踐檢驗．因此，它不能作為數學證明的工具．,答案：1 000,1．一種模式 演繹推理的一般模式是三段論，應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提．如果大前提與推理形式是正確的，結論必定是正確的．如果大前提錯誤，盡管推理形式是正確的，所得結論也是錯誤的．,,2．三個防范 (1)在進行類比推理時要盡量從本質上去類比，不要被表面現象迷惑，否則只抓住一點表面現象的相似甚至假象就去類比，那么就會犯機械類比的錯誤．,(2)合情推理是從已知的結論推測未知的結論，發(fā)現與猜想的結論都要經過進一步嚴格證明． (3)演繹推理是由一般到特殊的推理，它常用來證明和推理數學問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規(guī)范性．,