《《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)資料》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)資料（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.1 多 維 隨 機 變 量 1 2 1 1 2 2, ,., , ,.,( ) ( ),n n nF x x x P X x X x X x 1 2, , ., nx x x 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) . 定 義 設(shè) 1 2, , ., nX X X 為 個 隨 機 變 量 ,則 稱n1 2, , .,( )nX X X 為 維 隨 機 變 量 (或 維 隨 機 向 量 ).n n相 應(yīng) 地 ,稱 元 函 數(shù)n 1 2, , ., nX X X為 該 維 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) ,或 n ( , )PX xY y 應(yīng) 當 強 調(diào) 的 是 是 指 隨 機 事 件矩 形 內(nèi) 的

2、 概 率 .合 分 布 函 數(shù) .( , ) ( , ), - ,F x y P X x Y y x y 特 別 地 ， 當 時 ,稱 為 二 維 隨 機2n ( , )X Y變 量 ,對 任 意 實 數(shù) 稱 二 元 函 數(shù),x y為 二 維 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) ,或 的 聯(lián)( , )X Y ,X Y , X x Y y 同 時 發(fā) 生 的 概 率 .如 果 將 解 釋 為( , )XY坐 標 平 面 上 的 隨 機 點 坐 標 ,則 即 是 對 應(yīng) 點( , )F x y落 在 以 點 為 頂 點 的 左 下 方 (包 括 邊 界 )的( , )x y ( 0, ) ( ,

3、), ( , 0) ( , );F x y F x y F x y F x y lim ( , ) 0 , lim ( , ) 0 ,lim ( , ) 0 , lim ( , ) 1,x yx xy yF x y F x yF x y F x y ( , )F x y二 維 分 布 函 數(shù) 具 有 以 下 性 質(zhì) ：1 2( , ) ( , )F x y F x y 1 2y y 1 2( , ) ( , )F x y F x y成 立 ,當 時 ,成 立 ;0 ( , ) 1,Fx y 且(3) 1 2x x(1)分 別 對 和 單 調(diào) 不 減 ,即 當 時 , x y(2)對 和 都 是

4、 右 連 續(xù) 的 ， 即yx 或 簡 記 為( , ) ( , ) ( , ) 0, ( , ) 1;F y F x F F 2 2 1 2 2 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0.F x y F x y F x y F x y 對 于 二 維 隨 機 變 量 ,我 們 仍 分 為 離 散 型與 連 續(xù) 型 兩 種 情 況 來 討 論 .(4)對 任 意 實 數(shù) 1 2 1 2,x x y y ,成 立 一 、 二 維 離 散 型 隨 機 變 量 及 其 分 布 ,( )( , 1,2,.),i jx y i j ( , ) ,i i ijP X x Y y P 稱

5、相 應(yīng) 的 概 率分 布 列 .定 義 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 可 能 取 值 為( , )X Y, 1, 2,.i j 為 的 分 布 列 ， 或 的 聯(lián) 合( , )X Y ,X Y 對 二 維 隨 機 變 量 ,如 果 和 都 是 離 散型 隨 機 變 量 ， 則 稱 是 二 維 隨 機 變 量 .( , )X Y( , )X Y X Y 的 分 布 列 也 可 由 以 下 矩 形 表 格 表 示 : YX, 1211 ppX Y 2221 pp 21 yy 21xx ),2,1,(),( jiyx ii由 于 遍 及 所 有 ( , )X Y的 可 能 取 值 ， 從 而 成 立

6、.1,0 , ji ijij pp反 之 ， 如 果 某 非 負 數(shù) 列 ),3,2,1,( jipij滿 足 則 它 定 可 作 為 某 二 維 離 散 型隨 機 變 量 的 分 布 列 。.1, ji ijp 解 可 能 取 值 為),( YX ),2,2(),1,2(),3,1(),2,1(.)2,3)(1,3(),3,2( 由 乘 法 原 理 ， 得 ： ,613241)2,1(),( 12 pYXP ,1213141)3,1(),( 13 pYXP例 1 袋 中 裝 有 四 個 球 ,上 面 依 次 標 有 數(shù) 字1,2,2,3.從 袋 中 任 取 一 球 后 不 放 回 的 再 取

7、 一 球 ,假 設(shè) 每 次 取 球 時 袋 中 各 球 被 取 到 的 可 能 性 相 同 ,以 表 示 第 一 次 和 第 二 次 取 出 的 球 上 標 有 的數(shù) 字 .求 的 分 布 列 .( , )X Y,X Y 類 似 可 得 ： 613121)1,2(),( 21 pYXP 613121)2,2(),( 22 pYXP 613121)3,2(),( 23 pYXP 1213141)1,3(),( 31 pYXP .613241)2,3(),( 32 pYXP 從 而 所 求 的 分 布 列 為 ： 121610X Y 3211 616161 06112123二 、 二 維 連 續(xù)

8、型 隨 機 變 量 及 其 分 布定 義 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 ( , )X Y 的 分 布 函 數(shù) 為 ( , ),F x y 如 果 存 在 一 非 負 可 積 的 二 元 函 數(shù)( , )f x y , ,x y,使 對 任 意 實 數(shù) 有 ,),(),( dvduvufyxF x y 反 之 ,若 某 二 元 函 數(shù) 滿 足 以 上 兩 條 性 質(zhì) ,則它 一 定 可 作 為 某 二 維 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 概率 密 度 .聯(lián) 合 概 率 密 度 .它 滿 足 :則 稱 是 二 維 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 .相 應(yīng) 的 二( , )X Y 1),( dxdyyxf

9、,0),( yxf元 函 數(shù) ( , )f x y 稱 為 的 概 率 密 度 ,或 的( , )X Y ,X Y 容 易 證 明 ， 在 的 連 續(xù) 點 ：),( yxf ,),(),( 2 yx yxFyxf ),( DyxP dxdyyxf D ),(即 取 值 落 入 中 的 概 率 為 以 為 底 ,以 為 頂 的 曲 頂 柱 體 體 積 .( , )f x y( , )X Y D D并 且 取 值 落 入 平 面 上 某 區(qū) 域 內(nèi) 的概 率 為 xOy( , )X Y D 例 2 二 維 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 為),( YX . ,0 0,0,),( )2( 其 他

10、 yxkeyxf yx試 求 (1) 常 數(shù) 的 值 ；k),( YX(2) 取 值 落 入 區(qū) 間中 的 概 率 ； 1),( yxyxD),( YX（ 3） 的 分 布 函 數(shù) . 解 （ 1） 由 概 率 密 度 的 性 質(zhì) ： 1),( dxdyyxf 0 0 )2( 1dxdyke yx 0 02 1dyedxek yx 2k從 而 . ,0 0,0,2),( )2( 其 他 yxeyxf yx D dxdyyxfDYXP ),(),( ;3996.0)1( 22110 )2(10 e dyedx x yx 1yx xyo1 1D（ 3） 由 分 布 函 數(shù) 的 定 義 ， dvdu

11、vufyxF x y ),(),(當 或 時 ， 從 而0 x ;0),( yxF0y 0),( yxf當 且 時 ， 從 而0 x 0y )2(2),( yxeyxf (2) 取 值 落 入 中 的 概 率 為 ：( , )X Y D )1)(1( 2),( 20 0 )2( yxx y vu ee dvdueyxF 從 而 所 求 的 分 布 函 數(shù) 為 ： 其 他,0 0,0),1()1(),( 2 yxeeyxF yx下 面 我 們 介 紹 兩 個 常 見 的 二 維 分 布 .例 3 設(shè) 是 平 面 上 的 有 界 區(qū) 域 ， 其 面 積 為 若二 維 隨 機 變 量 具 有 概 率

12、 密 度 :G S),( YX 其 它,0 ),(,1),( GyxSyxf則 稱 在 上 服 從 均 勻 分 布 。),( YX G D dxdyyxfDYXP ),(),( D dxdyS1 。的 面 積的 面 積的 面 積 DGSG 的 面 積 成 正 比 ， 而 且 與 的 形 狀 及 位 置 無 關(guān) 。D 向 平 面 上 有 界 區(qū) 域 上 任 投 一 質(zhì) 點 ， 若 質(zhì)點 落 在 內(nèi) 任 一 小 區(qū) 域 的 概 率 與 小 區(qū) 域DGG 例 4 甲 乙 兩 人 各 自 在 0,1區(qū) 間 上 隨 機取 數(shù) ,求 甲 所 取 數(shù) 超 過 乙 所 取 數(shù) 兩 倍 的 概 率 。 10,1

13、0|, yxyxD上 的 均 勻 分 布 ,從 而 所 求 概率 為 : 1 2 .4P X Y 陰 影 部 分 面 積D的 面 積 O 12y 2x y x1 解 用 表 示 甲 所 取 的 數(shù) , 表 示 乙 所取 的 數(shù) ,則 服 從 正 方 形 區(qū) 域X Y( , )X Y 若 二 維 隨 機 變 量 具 有 概 率 密 度 ：),( YX 21 12221 )()1(2 1exp12 1),( xyxf )()(2 22 22 21 1 yyx其 中 均 為 常 數(shù) ,且 , 2121 ,0,0 21 1| , 2121則 稱 服 從 參 數(shù) 為),( YX的 二 維 正 態(tài) 分 布 。 記 作 ： 。),(),( 2121 NYX 密 度 函 數(shù) 圖 形體 積 為 1 均 勻 分 布 與 正 態(tài) 分 布 是 二 維 隨 機 變 量 分布 中 應(yīng) 用 最 廣 泛 的 兩 種 分 布 ,特 別 是 正 態(tài) 分布 ,我 們 將 在 后 面 的 章 節(jié) 中 對 每 一 參 數(shù) 作 詳細 的 討 論 .