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1、第二章 電力系統(tǒng)潮流計(jì)算 2.1 概 述 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析是研究電力系統(tǒng)運(yùn)行和規(guī)劃方案最重要和最基本的手段，其任務(wù)是根據(jù)給定的發(fā)電運(yùn)行方式及系統(tǒng)接線方式求解電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行狀況，包括各路線的電壓、各元件中通過的功率等等。在電力系統(tǒng)運(yùn)行方式和規(guī)劃方案研究少，都需要進(jìn)行穩(wěn)態(tài)分析以比較運(yùn)行方式或規(guī)劃供電方案的可行性、可靠性和經(jīng)濟(jì)性。電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析得到的是一個(gè)系統(tǒng)的平衡運(yùn)行狀態(tài)，不涉及系統(tǒng)元件的動(dòng)態(tài)屬性和過渡過程。因此其數(shù)學(xué)模型不包含微分方程，是一組高階數(shù)的非線性方程。電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析(見第5章、第6章)的主要目的是研究系統(tǒng)在各種干擾下的穩(wěn)定性，屬于動(dòng)態(tài)安全分析，在其數(shù)學(xué)模型中包含微分

2、方程，應(yīng)該指出，電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析不僅在穩(wěn)定運(yùn)行方式分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行，而且穩(wěn)態(tài)分析的算法也是動(dòng)態(tài)分析算法的基礎(chǔ)。因此，熟悉穩(wěn)態(tài)分析的原理和算法是把握現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析方法的關(guān)鍵。 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析包括潮流汁算(或潮流分析)和靜態(tài)安全分析。潮流計(jì)算針對(duì)電力系統(tǒng)各正常運(yùn)行方式，而靜態(tài)安全分析則要研究各種運(yùn)行方式下個(gè)別系統(tǒng)元件退出運(yùn)行后系統(tǒng)的狀況。其目的是校驗(yàn)系統(tǒng)是否能安全運(yùn)行，即是否有過負(fù)荷的元件或電壓過低的母線等。原則上講，靜態(tài)安全分析也可以用潮流計(jì)算來代替。但是—般靜態(tài)安全分析需要校驗(yàn)的狀態(tài)數(shù)非常多，用嚴(yán)格的潮流計(jì)算來分析這些狀態(tài)往往計(jì)算量過大。因此不得不尋求一些特殊的算法以滿足要求。

3、本章的前半部分介紹潮流計(jì)算的模型和算法，后半部分討論與靜態(tài)安全分析有關(guān)的問題。 利用電子數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行電力系統(tǒng)潮流計(jì)算從20世紀(jì)50年代中期就已開始。此后，潮流計(jì)算曾采用了各種不同的方法，這些方法的發(fā)展主要是圍繞著對(duì)潮流計(jì)算的一些基本要求進(jìn)行的。對(duì)潮流計(jì)算的要求可以歸納為下面幾點(diǎn)： (1)計(jì)算方法的可靠性或收斂性。 (2)對(duì)計(jì)算速度和內(nèi)存量的要求。 (3) 計(jì)算的方便件和靈活性。 電力系統(tǒng)潮流計(jì)算問題在數(shù)學(xué)上是一組多元非線性方程式的求解問題，其解法離不開迭代。因此，對(duì)潮流計(jì)算方法，首無要求它能可靠地收斂，并給出正確答案。隨著電力系統(tǒng)不斷擴(kuò)大，潮

4、流問題的方程式階數(shù)越來越高(目前已達(dá)幾千階甚至超過1萬階)，對(duì)這樣規(guī)模的方程式并不是采用任何數(shù)學(xué)方法都能保證給出正確答案的。這種情況成為促使電力系統(tǒng)研究人員不斷尋求新的更可靠方法的重要?jiǎng)恿Α? 在用數(shù)字計(jì)算機(jī)解電力系統(tǒng)潮流問題的開始階段，普遍采取以節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的高斯—賽德爾迭代法(以下簡(jiǎn)稱導(dǎo)納法)[1，2]。這個(gè)方法的原理比較簡(jiǎn)單，要求的數(shù)字計(jì)算機(jī)內(nèi)存且也比較小，適應(yīng)當(dāng)時(shí)電子數(shù)字計(jì)算機(jī)制造水平和當(dāng)時(shí)電力系統(tǒng)理論水平，但它的收斂性較差．當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模變大時(shí)，迭代次數(shù)急劇上升，往往出現(xiàn)迭代不收斂的情況。這就迫使電力系統(tǒng)計(jì)算人員轉(zhuǎn)向以阻抗矩陣為基礎(chǔ)的逐次代入法(以下簡(jiǎn)稱阻抗法)[2,3]。

5、 20世紀(jì)60年代初．?dāng)?shù)字計(jì)算機(jī)已發(fā)展到第二代，計(jì)算機(jī)的內(nèi)存和速度發(fā)生了很大的飛躍，從而為阻抗法的采用創(chuàng)造了條件。如第1章所述，阻抗矩陣是滿矩陣，阻抗法要求數(shù)字計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存表征系統(tǒng)接線和參數(shù)的阻抗矩陣，這就需要較大的內(nèi)存量。而且阻抗法每迭代一次都要求順次取阻抗矩陣中的每—個(gè)元素進(jìn)行運(yùn)算，因此，每次迭代的運(yùn)算量很大。 阻抗法改善了系統(tǒng)潮流計(jì)算問題的收斂性，解決了導(dǎo)納法無法求解的一些系統(tǒng)的潮流計(jì)算，當(dāng)時(shí)獲得了廣泛的應(yīng)用，曾為我國電力系統(tǒng)設(shè)計(jì)、運(yùn)行和研究作出了很大的貢獻(xiàn)。 但是，阻抗法的主要缺點(diǎn)是占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存大，每次迭代的計(jì)算量大。當(dāng)系統(tǒng)不斷擴(kuò)大時(shí)，這些缺點(diǎn)就更加突出。

6、為了克服阻抗法在內(nèi)存和速度方面的缺點(diǎn)，后來發(fā)展了以阻抗矩陣為基礎(chǔ)的分塊阻抗法[3,4]。這個(gè)方法把一個(gè)大系統(tǒng)分割為幾個(gè)小的地區(qū)系統(tǒng)，在計(jì)算機(jī)內(nèi)只需要存儲(chǔ)各個(gè)地區(qū)系統(tǒng)的阻抗矩陣及它們之間連絡(luò)線的阻抗，這樣不僅大幅度地節(jié)省了內(nèi)存容量，同時(shí)也提高了計(jì)算速度。 克服阻抗法缺點(diǎn)的另一途徑是采用牛頓—拉弗森法(以下簡(jiǎn)稱牛頓法) [5,6]。牛頓法是數(shù)學(xué)中解決非線性方程式的典型方法，有較好的收斂性。解決電力系統(tǒng)潮流計(jì)算問題是以導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的，因此，只要在迭代過程中盡可能保持方程式系數(shù)矩陣的稀疏性，就可以大大提高牛頓法潮流程序的效率。自從20世紀(jì)60年代中期利用了最佳順序消去法[7]以后，牛頓法在

7、收斂性、內(nèi)存要求、速度方面都超過了阻抗法，成為直到目前仍在廣泛采用的優(yōu)秀方法。 20世紀(jì)70年代以來，潮流計(jì)算方法通過不同的途徑繼續(xù)向前發(fā)展，其中最成功的方法是P-Q分解法[8]。這個(gè)方法，根據(jù)電力系統(tǒng)的特點(diǎn)，抓住主要矛盾，對(duì)純數(shù)學(xué)的牛頓法進(jìn)行了改造，在計(jì)算速度方面有明顯的提高，迅速得到了推廣。 近20多年來，潮流問題算法的研究仍非?；钴S，但是大多數(shù)研究是圍繞著改進(jìn)牛頓法和P-Q分解法進(jìn)行的[9~15]。此外，隨著入工智能理論的發(fā)展，遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊算法也逐漸引入潮流計(jì)算[16~19]。但是，到目前為止這些新模型和算法還不能取代牛頓法和P-Q分解法的地位。由于電

8、力系統(tǒng)的不斷擴(kuò)大和對(duì)計(jì)算速度要求的不斷提高，計(jì)算機(jī)的并行計(jì)算技術(shù)也引起一些研究人員的興趣[20]，今后會(huì)成為重要的研究領(lǐng)域。 本章主要介紹當(dāng)前通用的牛頓法和P-Q分解法。在本書后的附錄中給出了P-Q分解法潮流程序的詳細(xì)框圖，供編制程序時(shí)參考。 最后還應(yīng)指出，潮流計(jì)算的靈活性和方便性的要求，對(duì)數(shù)字計(jì)算機(jī)的應(yīng)用也是一個(gè)很重要的問題。潮流程序的編制必須盡可能使計(jì)算人員在計(jì)算機(jī)計(jì)算的過程中加強(qiáng)對(duì)計(jì)算過程的監(jiān)視和控制，并便于作各種修改和調(diào)整。電力系統(tǒng)潮流計(jì)算問題并不是單純的計(jì)算問題，把它當(dāng)作一個(gè)運(yùn)行方式的調(diào)整問題可能更為確切。為了得到一個(gè)合理的運(yùn)行方式，往往需要不斷根據(jù)計(jì)算結(jié)果修改原始數(shù)據(jù)。

9、在這個(gè)意義上．我們?cè)诰幹瞥绷饔?jì)算程序時(shí)，對(duì)使用的方便性和靈活性必須予以足夠的重視。因此，除了要求計(jì)算方法盡可能適應(yīng)各種修改、調(diào)整以外，還要注意輸入和輸出的方便性和靈活性，加強(qiáng)人機(jī)聯(lián)系，做好界面，使計(jì)算人員能及時(shí)監(jiān)視計(jì)算過程并方便地控制計(jì)算的進(jìn)行。 2.2 潮流計(jì)算問題的數(shù)學(xué)問題 2.2.1 潮流計(jì)算問題的節(jié)點(diǎn)類型 電力系統(tǒng)由發(fā)電機(jī)、變壓器、輸電線路及負(fù)荷等構(gòu)成。圖2-1表示了一個(gè)簡(jiǎn)單電力系統(tǒng)的接線圖。在進(jìn)行電氣計(jì)算時(shí)，系統(tǒng)中靜止元件如變壓器、輸電線、并聯(lián)電容器、電抗器等可以用R、L、C所組成的等值電路來模擬。因此這些靜止元件所連成的電力網(wǎng)在潮流計(jì)算中可以看作是線性網(wǎng)絡(luò)，并用相應(yīng)

10、的導(dǎo)納矩陣或阻抗矩陣來描述。在潮流計(jì)算中發(fā)電機(jī)和負(fù)荷都作為非線性元件來處理，不能包括在線性網(wǎng)絡(luò)部分，如圖2-1(b)所示。聯(lián)絡(luò)節(jié)點(diǎn)作為注入零功率的節(jié)點(diǎn)引出網(wǎng)絡(luò)之外。 圖2-1 簡(jiǎn)單電力系統(tǒng)接線圖 在圖2-1(b)中虛線所包括的線性網(wǎng)絡(luò)部分，其節(jié)點(diǎn)電流與電壓之間的關(guān)系可以通過節(jié)點(diǎn)方程式來描述： 上式也可以寫成展開的形式； 式個(gè)：和，分別為節(jié)點(diǎn)i的注入電流及節(jié)點(diǎn)j的電壓；為導(dǎo)納矩陣元素；n為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)。 為了求解潮流問題，我們必須利用節(jié)點(diǎn)功率與電流之間的關(guān)系： 式中；、分別為節(jié)點(diǎn)i向線性網(wǎng)絡(luò)注入的有功功率和無功功率，當(dāng)i點(diǎn)為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)時(shí)，、本身應(yīng)帶負(fù)號(hào)；為節(jié)點(diǎn)i電壓向量

11、的共扼值。 將式(2-3)代入式(2-2)，可得到 或 上式含有n個(gè)非線性復(fù)數(shù)方程式，是潮流計(jì)算問題的基本方程式，對(duì)這個(gè)方程式的不同應(yīng)用和處理．就形成了不同的潮流程序， 電力系統(tǒng)潮流汁算中，表征各個(gè)節(jié)點(diǎn)運(yùn)行狀態(tài)的參數(shù)是該點(diǎn)的電壓向量及復(fù)功率，也就是說，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有4個(gè)表征節(jié)點(diǎn)運(yùn)行狀態(tài)的量：、、、因此，在n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)中共有4n個(gè)運(yùn)行參數(shù)。 如上所述，電力潮流基本方程式(2-4)共有n個(gè)復(fù)數(shù)方程式，相當(dāng)于2n個(gè)實(shí)數(shù)方程式，因此只能解出2n個(gè)運(yùn)行參數(shù)，其余2n個(gè)應(yīng)作為原始數(shù)據(jù)事先給定。 在一般電力系統(tǒng)潮流計(jì)算時(shí)，對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)往往給出兩個(gè)運(yùn)行參數(shù)作為已知條件，而另外兩個(gè)則作為

12、待求量。根據(jù)原始數(shù)據(jù)給出的方式，電力系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)一般分為以下3種類型： (1)PQ節(jié)點(diǎn)。 這類節(jié)點(diǎn)給出的參數(shù)是該點(diǎn)的有功功率及無功功率(P、Q)，待求量為該點(diǎn)的電壓向量〔)。通常將變電所母線作為PQ節(jié)點(diǎn)。當(dāng)某些發(fā)電廠的山力P、Q給定時(shí)，也作為PQ節(jié)點(diǎn)。在潮流計(jì)算中，系統(tǒng)中大部分節(jié)點(diǎn)部屬于這類節(jié)點(diǎn)。 (2)PV節(jié)點(diǎn)。 這類節(jié)點(diǎn)給出的運(yùn)行參數(shù)為該點(diǎn)的有功功率P及電壓幅值V，待求量是該點(diǎn)的無功功率Q及電壓向量的角度。這種節(jié)點(diǎn)在運(yùn)行中往往要有一定可調(diào)節(jié)的無功電源，用以維持給定的電壓值。因此，這種節(jié)點(diǎn)是系統(tǒng)中可以調(diào)節(jié)電壓的母線。通常選擇有一定無功功率貯備的發(fā)電廠母線作為PV節(jié)點(diǎn)。當(dāng)變電所有無功補(bǔ)

13、償設(shè)備時(shí)，也可以作為PV節(jié)點(diǎn)處理。 (3)平衡節(jié)點(diǎn)。 在潮流計(jì)算中，這類節(jié)點(diǎn)一般在系統(tǒng)中只設(shè)一個(gè)。對(duì)這個(gè)節(jié)點(diǎn)，我們給定該點(diǎn)的電壓幅值，井在計(jì)算中取該點(diǎn)電壓向量的方向作為參考軸，相當(dāng)于給定該點(diǎn)電壓向量的角度為零度。因此，對(duì)這個(gè)節(jié)點(diǎn)給定的運(yùn)行參數(shù)V和，故也可以稱為節(jié)點(diǎn)。對(duì)平衡節(jié)點(diǎn)來說，待求量是該點(diǎn)的有功功率P及無功功率Q，整個(gè)系統(tǒng)的功率平衡由這一節(jié)點(diǎn)來完成。平衡節(jié)點(diǎn)一般選擇在調(diào)頻發(fā)電廠母線比較合理，但在計(jì)算時(shí)也可能按其他原則來選擇。例如，為了提高導(dǎo)納法潮流程序的收斂性。有時(shí)選擇出線最多的發(fā)電廠母線作為平衡節(jié)點(diǎn)。 以上3種節(jié)點(diǎn)的給定量和待求量不同，在潮流計(jì)算中處理的方法也

14、不一樣。 2.2.2 節(jié)點(diǎn)功率方程式 如前所述，電力系統(tǒng)潮流計(jì)算可以概略地歸結(jié)為由系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)給定的復(fù)功率求解各節(jié)點(diǎn)電壓向量的問題，因此如果能把復(fù)功率表示為各節(jié)點(diǎn)電壓向量的方程式，就可以利用求解非線性方程式的牛頓法解出系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)的電壓向量。這一節(jié)我們首先推導(dǎo)節(jié)點(diǎn)功率的方程式。 節(jié)點(diǎn)電壓向量可以表示為極坐標(biāo)的形式，也可以表示為直角坐標(biāo)的形式。與此相應(yīng)，在潮流計(jì)算中節(jié)點(diǎn)功率方程式也有兩種形式。 由式(2-4)可知，節(jié)點(diǎn)功率可表示為 由于導(dǎo)納矩陣是稀疏矩陣，上式號(hào)后一般并沒有n項(xiàng)，也就是說，其中j并不取從1到n的全部下標(biāo)。式中表示號(hào)后的節(jié)點(diǎn)j都必須直接與i節(jié)點(diǎn)相連，并包括的

15、情況。如果把上式中電壓向量表示為極坐標(biāo)的形式 式個(gè)：、為節(jié)點(diǎn)i電壓向量的幅值和角度。將導(dǎo)納短陣中元素表示為 將上式中指數(shù)項(xiàng)合并，并考慮到以下關(guān)系： 式中：，為i、j兩節(jié)點(diǎn)電壓的相角差。 將上式按實(shí)部和虛部展開，得到 這就是功率的極坐標(biāo)方程式。這個(gè)方程組不僅在牛頓法潮流程序中非常重要，在2.4節(jié)P-Q分解法潮流程序中也將起重要作用。 把上式中各節(jié)點(diǎn)的電壓向量表示為直角坐標(biāo)的形式： 式中： 則由式（2-5）就可以得到 令式中 式中：、實(shí)際上是節(jié)點(diǎn)i注入電流的實(shí)部和虛部。因此式(2-10)可以簡(jiǎn)寫為 這就是功率的直角坐標(biāo)方程式。

16、 無論式(2-9)或式(2-10)都是節(jié)點(diǎn)電壓向量的非線性方程組。在潮流問題中，往往把它們寫成以下的形式： 及 式(2-13)、式(2-14)中：、為節(jié)點(diǎn)i給定的有功功率及無功功率。由這兩個(gè)公式，我們可以把電力系統(tǒng)潮流問題概略地歸結(jié)為：對(duì)于給定的、尋求這樣一組電壓向量、或、 ，使按式(2-13)、式(2-14)所得到的功率誤差、在容許范圍以內(nèi)。 最后應(yīng)該指出，在某些情況下用節(jié)點(diǎn)注入電流[見式(2-2)]代替節(jié)點(diǎn)注入功率構(gòu)成潮流模型可能開發(fā)出更有效的算法，見第2.3節(jié)。 2.3 潮流計(jì)算的牛頓法 2.3.1 牛頓法的基本概念 牛頓法(又稱牛頓—拉弗森法)是解非線

17、性方程式的有效方法。這個(gè)方法把非線性方程式的求解過程變成反復(fù)對(duì)相應(yīng)的線性方程式的求解過程，通常稱為逐次線性化過程，這是牛頓法的核心。我們以如下非線性方程式的求解過程為例來說明： 設(shè)為該方程式的初值，而真正解x在它的近旁 式巾：為初值的修正量。如果求得，則由式(2-16)就可得到真正解x。為此， 將式 按泰勒級(jí)數(shù)展開： 式中：分別為函數(shù)在處的一次導(dǎo)數(shù)至n次導(dǎo)數(shù)。當(dāng)我們選擇的初值比較好，即很小時(shí)，式(2-18)中包含的和更高階次項(xiàng)可以去不計(jì)。因此，式(2-18)可以簡(jiǎn)化為 這是對(duì)于變量的線性方程式，以后稱為修正方程式，用它可以求出修正量。 由于式(2-19

18、)是式(2-18)簡(jiǎn)化的結(jié)果，所以由式(2-19)解出后，還不能得到方程式(2-15)的真正解。實(shí)際上，用對(duì)修正以后得到的： 只是向真正解更逼近了一些?，F(xiàn)在如果再以作為初值，解式(2-19)， 就能得到更趨近于真正解的 這樣反復(fù)下去，就構(gòu)成了不斷求解線性修正方程式的逐步線性化過程。第t次迭代時(shí)的修正方程式為 或 上式左端可以看成是近似解引起的誤差，當(dāng)時(shí)，就滿足了原方程式(2-15)， 因而就成為該方程式的解。式(2-22)中是函數(shù)在點(diǎn)的一次導(dǎo)數(shù)，也就 是曲線在點(diǎn)的斜率，如圖2-2所示， 修正運(yùn)則由點(diǎn)的切線與橫軸的交點(diǎn)來決定，由圖2-2可以直觀地看

19、出牛頓法的求解過程。 圖2-2 牛頓法的幾何解釋 現(xiàn)在把牛頓法推廣到多變量非線性方程組的情況。設(shè)有變量的非線性聯(lián)立方程組： 給定各變量初值為其修正值，并使其滿足 對(duì)以上n個(gè)方程式分別按泰勒級(jí)數(shù)展開，當(dāng)忽略包含所組成的二次項(xiàng)和高次項(xiàng)時(shí)，可以得到 式中：為函數(shù)對(duì)自變量xj的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處的值。 把上式寫成短陣的形式： 這是變量的線性方程組，稱為牛頓法的修正方程式，通過它可以解出并可以進(jìn)一步求得 式中向真正解逼近了一步，如果再以它們作為初值重復(fù)解式(2-28)型修正方程式，并按式(2-29)對(duì)變量進(jìn)行修正，就構(gòu)成了牛頓法的迭代過程。 一般第t次迭代時(shí)

20、的修正方程式為 或者簡(jiǎn)寫為 式中： 為第t次迭代時(shí)函數(shù)的誤差向量； 稱為第t次迭代時(shí)的雅可比矩陣； 為第t次迭代時(shí)的修正量向量。 同樣，也可以寫出類似于式(2-29)的算式 這樣，反復(fù)交替解式(2-31)及式(2-35)就可以使逐步趨近方程式的真正解。為了判斷收斂情況，可采用以下兩個(gè)不等式中的一個(gè)： 式中：及分別表示向量及的最大分量的絕對(duì)值；和為預(yù)先給出的很小正數(shù)。 2.3.2 修正方程式 在第2.3.1節(jié)中我們推導(dǎo)了兩種類型的功率方程式，它們?cè)谂ｎD法潮流程序中都有應(yīng)用[14]。雖然它們?cè)诘襟E上沒有差別，但其修正方程式則各有特點(diǎn)。

21、當(dāng)采用極坐標(biāo)的數(shù)學(xué)模型[式(2-l3)]時(shí)，待求量是各節(jié)點(diǎn)電壓的幅值和角度、。對(duì)節(jié)點(diǎn)來說，節(jié)點(diǎn)i電壓幅值是給定的，不再作為變量。同時(shí)，該點(diǎn)不能預(yù)先給定無功功率，這樣，方程式中，也就失去了約束作用。因此，在迭程中應(yīng)該取消與節(jié)點(diǎn)有關(guān)的無功功率方程式。只有當(dāng)這迭代結(jié)束后，即各節(jié)點(diǎn)電壓向量求得以后，才利用這些方程式來求各節(jié)點(diǎn)應(yīng)維持的無功功率。同樣道理，由于平衡節(jié)點(diǎn)電壓幅值及相角都是給定量，因此與平衡節(jié)點(diǎn)有關(guān)的方程式也不參與這迭代過程。迭代結(jié)束后，我們利用平衡節(jié)點(diǎn)的功率方程式來確定其有功功率及無功功率。 設(shè)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)總數(shù)為n，節(jié)點(diǎn)共r個(gè)。為了敘述方便，我們把平衡節(jié)點(diǎn)排在最后，即設(shè)為第n節(jié)點(diǎn)，則潮流計(jì)算要

22、解的方程式應(yīng)包括 此式中共包含n-1個(gè)方程式；及 此方程組共包括個(gè)方程式。以上方程式的待求量為各節(jié)點(diǎn)電壓的角度以及電壓幅值，其中共有個(gè)。由于中不包括節(jié)點(diǎn)的電壓幅值，所以共有個(gè)。這樣，未知量共有個(gè)，恰好可由以上個(gè)方程式求出。 將式(2-38)、式(2-39)按泰勒級(jí)數(shù)展開，略去高次項(xiàng)后，即可得到修正方程式 式中電壓幅值的修正量采用的形式并沒有什么特殊意義，只不過為了使雅可比矩陣中各元素具有比較相似的表達(dá)式。 利用簡(jiǎn)單的微分運(yùn)算對(duì)式(2- 3)或?qū)κ?2-38)、式(2-39)取偏導(dǎo)數(shù)，并注意式中、 均為常數(shù)，不難得到雅可比矩陣中各元素的表達(dá)式： 或 修

23、正方程式（2-40）還可以寫成更為簡(jiǎn)單的形式 對(duì)照式(2—40＞不難看出式中各符號(hào)的意義。有時(shí)，為了程序上處理方便也可把修正方 程式排成下列形式： 上式與式(2-40)在本質(zhì)上并無任何不同。 當(dāng)采用直角坐標(biāo)時(shí)，潮流問題的待求量為各節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)分量。由于平衡節(jié)點(diǎn)電壓向量是給定的，因此待求量共2(n-1)個(gè)，需要2(n-1)個(gè)方程式。事實(shí)上，除平衡節(jié)點(diǎn)的功率方程式在迭代過程中沒有約束作用以外，其余每個(gè)節(jié)點(diǎn)都可列出兩個(gè)方程式。對(duì)PQ節(jié)點(diǎn)來說，、是給定的，因而可以寫出 對(duì)節(jié)點(diǎn)來說，給定量是、，因此可以列出 式(2-52)和式(2-53)共包括2(n-1)

24、個(gè)方程式。將它們按泰勒級(jí)數(shù)展開，略去高次項(xiàng)后，即 可得到修正方程式，寫成矩陣的形式如下： 根據(jù)式(2-52)、式(2-53)，利用簡(jiǎn)單的微分運(yùn)算不難求得上式雅可比矩陣中各元素的 以上為對(duì)角元素。當(dāng)i=j時(shí)： 利用式（2-11）可以改寫為 同樣得到 以上得到的兩種坐標(biāo)系統(tǒng)修止方程式，是牛頓法潮流程序中需要反復(fù)求解的基本方程式。研究以上公式，不難看出這兩種修正方程式有以下持點(diǎn)： (1)修正方程式(2-54)顯然是2(n-1)階的，修正方程式(2-40)的階數(shù)為2(n-1)-r。由于系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)數(shù)(r)一般較少，所以也是接近2(n-1)階的方程組。 (2)由兩種坐標(biāo)

25、系統(tǒng)雅可比短陣非對(duì)角元素的表示式(2-41)、式(2-44)、式(2-46)、式(2-48)以及式(2-55)可以看出，它們只與導(dǎo)納矩陣中某一個(gè)元素有關(guān)。因此，當(dāng)導(dǎo)納矩陣中元素為零時(shí)，修正方程式系數(shù)矩陣中相應(yīng)元素也為零，即修正方程式系數(shù)矩陣與導(dǎo)納矩陣具有相同的結(jié)構(gòu)，因此修正方程式系數(shù)矩陣也是稀疏矩陣。 (3)由雅可比矩陣各元素的表達(dá)式可以看出，兩種坐標(biāo)系統(tǒng)修正方程式的系數(shù)矩陣都是不對(duì)稱的，例如很容易驗(yàn)證 以及 等等。 (4)兩種修正方程式的系數(shù)矩陣——雅可比矩陣中諸元素都是節(jié)點(diǎn)電壓向量的函 數(shù)，因此在迭代過程中，它們將隨著各節(jié)點(diǎn)電壓向量的變化而不斷變化。這一點(diǎn)是影響午

26、頓法潮流程序計(jì)算效率最重要的因素，因?yàn)椴粌H每次迭代都要重新計(jì)算雅可比矩陣元素，而且還需重新進(jìn)行三角分解。因此，對(duì)牛頓法潮流程序的改進(jìn)，大多是針對(duì)這一問題。例如，文獻(xiàn)[12]提出當(dāng)采用直角坐標(biāo)時(shí)，如果以注入電流[見式(2-4)]構(gòu)成潮流方程，則其修正方程式的雅可比矩陣中非對(duì)角元素將為常數(shù)，從而提高求解效率。文獻(xiàn)[13]則建議采用部分更新雅可比矩陣元素以減少運(yùn)算量。限于篇幅，不再詳述。 兩種坐標(biāo)系統(tǒng)的修正方程式給牛頓法潮流程序也帶來一些差異。當(dāng)采用極坐標(biāo)表示式時(shí)，程序中對(duì)節(jié)點(diǎn)處理比較方便。當(dāng)采用直角坐標(biāo)時(shí)，在迭代過程中避免了三角函數(shù)的運(yùn)算，因而每次迭代速度略快一些。—般說來，這些差異并不十分顯著

27、。在牛頓法潮流程序中，兩種坐標(biāo)系統(tǒng)都有應(yīng)用。關(guān)于對(duì)兩種坐標(biāo)系統(tǒng)的修正方程式的比較，可參考文獻(xiàn)[14]。 日前廣泛采用的P-Q分解法是從極坐標(biāo)系統(tǒng)牛頓法潮流程序演化而來的，將在第2.4節(jié)中詳細(xì)討論。因此，下一節(jié)將主要根據(jù)直角坐標(biāo)表示式(2-54)型的修正方程式討論牛頓法潮流程序。 2.3.3牛頓法的求解過程 以下討論用直角坐標(biāo)形式的牛頓法潮流的求解過程。在牛頓法潮流程序中，電力網(wǎng)絡(luò)是用導(dǎo)納矩陣來描述的。由式(2-52)、式(2-53)、式(2-55)、式(2-56)可知，其中的運(yùn)算都以導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)，因此在程序中應(yīng)首先形成導(dǎo)納矩陣。牛頓法潮流求解過程大致分為以下幾個(gè)步驟： (1)給定各節(jié)

28、點(diǎn)電壓初值、。 (2)將電壓初值、代入式(2-52)、式(2-53)，求修正方程式的常數(shù)項(xiàng)、、。 (3)將電壓初值代入式(2-55)、式(2-56)中求修正方程式系數(shù)矩陣(雅可比矩陣)各元素。 (4)解修正方程式(2-54)，求修正量、。 (5)修正各節(jié)點(diǎn)電壓向量： (6)以、代入式(2-52)、式(2-53)個(gè)求、、。 (7)校驗(yàn)是否收斂，如收斂，則進(jìn)而求各支路潮流并打印輸出計(jì)算結(jié)果，否則再以、為初值，返回第(3)步驟進(jìn)行下—次迭代。 牛頓法潮流程序的原理框圖如圖2-3所示。圖2-3以及上述求解步驟只是從原理上簡(jiǎn)要地介紹了牛頓法的計(jì)算過程，它們和實(shí)際的應(yīng)用程序還有一些差別。

29、如前所述，牛頓法求解潮流問題的過程，實(shí)際上是不斷形成并求解修正方程式的過程。如何處理修正方程式對(duì)于內(nèi)存要求和計(jì)算速度有著決定性的影響，因此，在下一節(jié)具體討論修正方程式的構(gòu)成及解法以后，才能進(jìn)一步給出牛頓法潮流程序的實(shí)用框圖。 圖2-3 牛頓法潮流程序原理框圖 現(xiàn)在我們僅就與修正方程式處理無關(guān)的問題作簡(jiǎn)單的介紹。 牛頓法的收斂性比較好，一般潮流計(jì)算通常迭代6~7次就能收斂到非常精確的解，而且迭代次數(shù)與電力系統(tǒng)規(guī)模關(guān)系不大。從理論上講，牛頓法具有平方收斂的特性，但它對(duì)初始值要求比較高。當(dāng)初始值選擇得不恰當(dāng)時(shí)，可能出現(xiàn)不收斂，或者收斂到實(shí)際電力系統(tǒng)無法運(yùn)行的解。這種情況是牛頓法本身引起的

30、。如前所述，牛頓法的實(shí)質(zhì)是把非線性方程的求解轉(zhuǎn)化為反復(fù)求解修正方程式的過程，這種“逐次線性化”是建立在、非常小，因而其高次項(xiàng)可以忽略不計(jì)的假定之上的。當(dāng)初值和真正解相差較大時(shí)，高次項(xiàng)就不能忽略，從而牛頓法就失去了迭代的基礎(chǔ)。 一般電力系統(tǒng)在正常運(yùn)行情況下，各節(jié)點(diǎn)運(yùn)行在額定電壓附近，各節(jié)點(diǎn)電壓相角差不會(huì)很大。在這時(shí)，初值采用“平啟動(dòng)”方式，即 牛頓法都能給出比較滿意的結(jié)果。在圖2-3中，我們采用的收斂條件是 式中：表示向量中最大分量的絕對(duì)值。這個(gè)收斂條件比較直觀，用它可以直接控制最終結(jié)果的功率誤差。當(dāng)采用標(biāo)么值進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以取或，如果以100MVA作為基值，這就相當(dāng)于有名值0.0

31、1MVA或0.1MVA，這實(shí)際電力系統(tǒng)計(jì)算來說已經(jīng)相當(dāng)精確。 由圖2-3可知，在利用牛頓法計(jì)算系統(tǒng)潮流時(shí)，每次迭代都要重新形成雅可比矩陣并且對(duì)它進(jìn)行消去運(yùn)算，因此，每迭代一次要求的運(yùn)算量相當(dāng)大，降低了牛頓法潮流程序的計(jì)算速度。由前面雅可比矩陣元素的表達(dá)式可知，在迭代過程中特別是趨于收斂時(shí)，由于電壓變化而引起雅可比矩陣元素的變化不會(huì)很大(參看2.3.4節(jié)例2-1)，因此，為了提高牛頓法潮流程序的計(jì)算速度，可以在形成雅可比矩陣后，用同一雅可比矩陣連續(xù)進(jìn)行幾次迭代。 2.3.4 修正方程式的求解 牛頓法在20世紀(jì)50年代末期就已用于解決電力系統(tǒng)潮流問題，并采用了高斯消去法求解

32、修正方程式。這時(shí)出現(xiàn)的矛盾是其內(nèi)存量及運(yùn)算量隨著系統(tǒng)的擴(kuò)大而急劇地增長(zhǎng)。如前所述，牛頓法修正方程式的階數(shù)為2(n-1)，因此需要個(gè)內(nèi)存單元貯存整個(gè)系數(shù)矩陣，而且求解線性方程式的運(yùn)算量在某些情況下達(dá)到乘加運(yùn)算，這樣就限制了牛頓法的應(yīng)用和推廣。 20世紀(jì)60年代中期，人們對(duì)牛頓法修正方程式的稀疏性進(jìn)行了深入研究，在求解線性方程式的過程中充分利用了稀疏線性方程的特點(diǎn)，避免了對(duì)雅可比矩陣中大量零元素的貯存和運(yùn)算，這樣就大大節(jié)約了內(nèi)存單元并且顯著地減少了運(yùn)算量，從而提高了計(jì)算速度。當(dāng)采用節(jié)點(diǎn)編號(hào)優(yōu)化時(shí)，還可以保證修正方程式系數(shù)矩陣在消去過程中增加的非零元素最少，使求解修正方程式所需要的內(nèi)存量及

33、運(yùn)算量可減少到幾乎與系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目成線性關(guān)系，從而使牛頓法成為求解電力系統(tǒng)潮流問題時(shí)應(yīng)用最廣泛的方法之一[7]。 下面我們以圖2-4所示的簡(jiǎn)單系統(tǒng)為例，說明牛頓法潮流程序在求解修正方程式過程中的一些算法特點(diǎn)。圖中節(jié)點(diǎn)3及節(jié)點(diǎn)6為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)3為節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)6為平衡節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)均為節(jié)點(diǎn)。該系統(tǒng)的導(dǎo)納矩陣結(jié)構(gòu)如下： 圖2-4 簡(jiǎn)單電力系統(tǒng) 修正方程式中不包括與平衡節(jié)點(diǎn)有關(guān)的方程，因此修正方程的形狀應(yīng)為 式中：常數(shù)項(xiàng)可按式（29-52）求得： 或者寫成 由式（2-56）可知修正方程式中對(duì)角元素為 式(2-61)和式(2-62)中都含有節(jié)點(diǎn)i注入電流的分量

34、，為了求及雅可比矩陣中對(duì)角元素，主要運(yùn)算集中在求及上。節(jié)點(diǎn)i注入電流分量只與i行導(dǎo)納矩陣及相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的電壓分量有關(guān)[見式(2-1I)]，因此，我們只要順序取導(dǎo)納矩陣中的第i行各元素及相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的電壓分量作簡(jiǎn)單的乘加運(yùn)算，即可積累求和得到。 當(dāng)求出后，與節(jié)點(diǎn)i的電壓分量按式(2-61)作乘加運(yùn)算再與節(jié)點(diǎn)i給定的功率，就可得到。 式(2-60)中雅可比矩陣非對(duì)角元素的表示式為 顯然，非對(duì)角線元素只與導(dǎo)納矩陣中相應(yīng)的元素及該節(jié)點(diǎn)的電壓分量有關(guān)。從對(duì)角元素的達(dá)式(2-62)也可以看出，其中除了節(jié)點(diǎn)i注入電流分量以外，也只有導(dǎo)納矩陣中對(duì)角元素，與該點(diǎn)電壓分量乘加運(yùn)算而得到的結(jié)果。 綜上分析，

35、使我們?cè)诔绦虻奶幚砩夏馨研纬尚拚匠淌降倪^程變成逐行取導(dǎo)納矩陣中元素并與相應(yīng)節(jié)點(diǎn)電壓分量作簡(jiǎn)單乘加運(yùn)算的過程。 當(dāng)節(jié)點(diǎn)i為PV節(jié)點(diǎn)時(shí)，的方程式要用的方程式來代替，其左端的常數(shù)項(xiàng)及雅可比矩陣元素由式(2-53)、式(2-56)中有關(guān)公式不難求得 形成修正方程式是牛法潮流程序中很重要的一步，它對(duì)整個(gè)牛頓法程序的效率有很大的影響。因此，在編制程序時(shí)，必須對(duì)以上公式進(jìn)行深入細(xì)致的分析，從中找出規(guī)律性的東西，盡量減少重復(fù)性的運(yùn)算。 在利用高斯消去法求解修正方程時(shí)，通常是按行消去的。與式(2-60)對(duì)應(yīng)的增廣矩陣是 消去與節(jié)點(diǎn)l及節(jié)點(diǎn)2有關(guān)的方程以后，增廣矩陣演化如下所示：

36、 可以看出，當(dāng)消去與節(jié)點(diǎn)2有關(guān)的方程式(第三行及第四行)時(shí)，所有運(yùn)算與節(jié)點(diǎn)3及以后的方程式完全無關(guān)。因此，在按行消去過程中，可以采取形成一行立即消去一行的方式。式中等帶上標(biāo)“”元素為消去過程中新增加的非零元素。為了使消去過程中新增加的非零元素最少，在正式計(jì)算之前，應(yīng)對(duì)節(jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行優(yōu)化(見第1.3.5節(jié))。帶上標(biāo)“”的元素表示該元素已參與了運(yùn)算。由于在程序上采用邊形成邊消去邊貯存的方式，因而對(duì)于新注入的非零元素不需要預(yù)留位置，從而使程序簡(jiǎn)化。 消去結(jié)束時(shí)，修正方程式的增廣矩陣演化為 最后利用一般回代方法即可將等演化為。由以上的討論可以得到圖2-5所示的程序框圖，它比圖2-4更能反映

37、實(shí)際程序。圖中R表示平衡節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)號(hào)?？驁D中的修正方程式的求解過程可以利用一般高斯消去法。在程序中對(duì)修正方程式采取了按節(jié)點(diǎn)邊形成邊消去的過程，在形成雅可比矩陣元素的同時(shí)積累數(shù)項(xiàng)，顯著地減少了迭代過程的運(yùn)算量。 【2-1】利用牛頓法計(jì)算圖2-6所示系統(tǒng)的潮流分布 圖2-5 牛頓法潮流程序原理圖 圖2-6 簡(jiǎn)單模型系統(tǒng) 【解】按照?qǐng)D2-5所示牛頓法潮流程序原理框圖進(jìn)行汁算。迭代計(jì)算以前的準(zhǔn)備工作包括形成導(dǎo)納矩陣和送電壓初值。 由例[1-1]可知，該系統(tǒng)的導(dǎo)納矩陣為 各節(jié)點(diǎn)的電壓初值如表2-1所示 根據(jù)式(2-52)、式(2-53)可建立修正方程式常數(shù)項(xiàng)(誤差項(xiàng))的

38、算式： 根據(jù)式(2-55)、式(2-56)可以得到雅可比矩陣各元素的算式： 這樣，按照式（2-60），就可以得到第一次迭代時(shí)的修正方程式： 式中：黑體數(shù)字為雅可比矩陣中各行絕對(duì)值最大的元素。顯然，按這種排列，各行最大元素都不在對(duì)角元素的位置上。 必須指出，這種情況的出現(xiàn)并非偶然。由上式可以看出，各行最大元素實(shí)際是和。這對(duì)高壓電力系統(tǒng)來說是一種普遍現(xiàn)象，因?yàn)殡娏ο到y(tǒng)中有功功率主要和電壓的橫分量有關(guān)，無功功率主要和電壓的縱分量有關(guān)。 為了減少計(jì)算過程的舍入誤差，應(yīng)該吧最大元素排列在對(duì)角元素的位置上。為此，可以采用兩種排列方法：一種是把各節(jié)點(diǎn)的方程式與方程式對(duì)調(diào)，即對(duì)調(diào)上式

39、中奇數(shù)行和偶數(shù)行的位置；另一種方法是把各節(jié)點(diǎn)待求量對(duì)調(diào)，即對(duì)調(diào)上式中雅可比矩陣的奇數(shù)列和偶數(shù)列。 以下我們介紹對(duì)調(diào)方程式的方法，在這種情況下，上式可以重新排列為 這樣，除第8行外各行最大元素都占據(jù)了對(duì)角元素的位置。 如本節(jié)所述，牛頓法潮流程序中，迭代過程就是修正方程式邊形成邊消去的過程（見圖2-5）。因此，當(dāng)形成第一個(gè)節(jié)點(diǎn)有關(guān)的方程式以后，我們得到相應(yīng)的增廣矩陣部分為 立即對(duì)它進(jìn)行消去運(yùn)算，得到上三角矩陣的第一行與第二行： 然后形成與第二節(jié)點(diǎn)相關(guān)的方程式，并得到相應(yīng)的增廣矩陣部分： 對(duì)它進(jìn)行消去運(yùn)算，得到上三角矩陣的第三行與第四行： 這樣繼續(xù)下去，消去過程結(jié)束

40、后，可以得到整個(gè)上三角矩陣： 進(jìn)行回代運(yùn)算后，就可以得到各節(jié)點(diǎn)電壓的修正量： 修正各節(jié)點(diǎn)電壓后，就求出第一次迭代后各節(jié)點(diǎn)的電壓： 按以上計(jì)算步驟迭代下去，當(dāng)收斂條件取時(shí)，需要進(jìn)行5次迭代。迭代過程中各節(jié)點(diǎn)電壓及功率誤差的變化情況如表2-2及表2-3所示。 將表2-3中各次迭代過程中最大功率誤差(即表中附“#”號(hào)的數(shù)字)繪成曲線，可以顯示出牛頓法的收斂特性，如圖2-7所示。 在迭代過程中，持別是迭代趨近于收斂時(shí)，雅可比矩陣各元素變化不太顯著。為了說明這個(gè)問題，我們存在2-4中列出了雅可比矩陣對(duì)角元素在迭代過程中的變化情況。 各節(jié)點(diǎn)電壓向量的計(jì)算結(jié)果見表2-

41、5。 圖2-7 牛頓法迭代收斂特性 2.4 潮流計(jì)算的P-Q分解法 2.4.1 P-Q分解法的基本原理 P-Q分解法的基本思想是：把節(jié)點(diǎn)功率表示為電壓向量的極坐標(biāo)方程式，抓住主要矛盾，以有功功率誤差作為修正電壓向量角度的依據(jù)，以無功功率誤差作為修正電壓幅值的依據(jù)，把有功功率和無功功率迭代分開來進(jìn)行[8]。以下我們討論P(yáng)-Q分解法是怎樣從牛頓法的基礎(chǔ)上演化出來的。 如前所述，牛頓法潮流程序的核心是求解修正方程式。當(dāng)節(jié)點(diǎn)功率方程式采取極坐標(biāo)表達(dá)式時(shí)，修正方程式為[見式(2-50)] 或展開為 以上方程式是從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格推導(dǎo)出來的，并沒有考慮電力系統(tǒng)這個(gè)具體對(duì)象

42、的持點(diǎn)。 我們知道，在高壓電力系統(tǒng)中有功功率潮流主要與各節(jié)點(diǎn)電壓向量的角度有關(guān)，無功功率潮流則主要受各節(jié)點(diǎn)電壓幅值的影響。大量運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)也告訴我們，式(2-66)中矩陣N以及J中各元素的數(shù)值相對(duì)是很小的，因此對(duì)牛頓法的第一步簡(jiǎn)化是把有功功率和無功功率分解開來進(jìn)行迭代，即將式(2-66)簡(jiǎn)化為 這樣，由于把2n階的線性方程組變成了兩個(gè)n階的線性方程組，因而計(jì)算量和內(nèi)存方面都有改善。但是，如第2.3.2節(jié)中指出的那樣，H、L在迭代過程中仍然不斷變化，而且又都是不對(duì)稱矩陣，因此，對(duì)牛頓法的第二個(gè)簡(jiǎn)化，也是比較關(guān)鍵的一個(gè)簡(jiǎn)化，就是式(2-67)中的系數(shù)矩陣簡(jiǎn)化為在迭代過程中不變的對(duì)稱矩陣。眾所周

43、知，一般線路兩端電壓的相角差是不大的(通常不超過)，因此可以認(rèn)為 此外，與系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)無功功率相應(yīng)的導(dǎo)納必定遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于該節(jié)點(diǎn)自導(dǎo)納的虛部，即 因此 考慮到以上關(guān)系后，式(2-67)中系數(shù)矩陣中的元素表示式可以從式(2-41)、式(2-42)、式(2-48)、式(2-49)簡(jiǎn)化為 這樣，式（2-67）中系數(shù)矩陣可以表示為 將式（2-72）代入式（2-67）中，并利用矩陣乘法結(jié)合律，可以吧修正方程式變?yōu)? 及 將以上兩式的左右兩端用一下矩陣左乘： 就可得到 及 以上兩式就是P-Q分解法的修正方程式，其中系數(shù)矩陣只不過是系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣的虛部，因而是對(duì)稱

44、矩陣．而且在迭代過程中維持不變。它們與功率誤差方程式(2-13)： 構(gòu)成了P-Q分解法迭代過程中基本計(jì)算公式，其迭代步驟大致是： (1)給定各節(jié)點(diǎn)電壓向量的電壓初值。 (2)根據(jù)式(2-77)計(jì)算各節(jié)點(diǎn)有功功率誤差，，并求出。 (3)解修止方程式(2-75)，并進(jìn)而計(jì)算各節(jié)點(diǎn)電壓向量角度的修正量 (4)修正各節(jié)點(diǎn)電壓向量角度； (5)根據(jù)式(2-78)計(jì)算各節(jié)點(diǎn)無功功率誤差，并求出。 (6)解修正方程式(2-76)，求出各節(jié)點(diǎn)電壓幅值的修正量。 (7)修正各節(jié)點(diǎn)電壓幅值： (8)返回(2)進(jìn)行迭代，直到各節(jié)點(diǎn)功率誤差及，都滿足收斂條件。

45、 2.4.2 P-Q分解法的修正方程式 P-Q分解法與牛頓法潮流程序的主要差別表現(xiàn)在它們的修正方程式上。P-Q分解法通過對(duì)電力系統(tǒng)具體特點(diǎn)的分析，對(duì)牛頓法修正方程式的雅可比矩陣進(jìn)行了有效的簡(jiǎn)化和改進(jìn)，得到式(2-75)、式(2-76)所示的修正方程式。歸結(jié)起來，這兩組方程式和牛頓法修正方程式(2-40)或式(2-54)相比，有以下3個(gè)持點(diǎn)： (1)式(2-75)、式(2-76)用兩個(gè)n階線性方程組代替了一個(gè)2n階線性方程組。 (2)式(2-75)、式(2-76)中系數(shù)矩陣的所有元素在迭代過程中維持常數(shù)。 (3)式(2-75)、式(2-76)中系數(shù)矩陣是對(duì)稱矩陣。 特點(diǎn)(1)在提高計(jì)

46、算速度和減少內(nèi)存方面的作用是很明顯的，不再敘述。 特點(diǎn)(2)使我們得到以下好處：首先，因?yàn)樾拚匠淌降南禂?shù)矩陣是導(dǎo)納矩陣的虛部，因此在迭代過程中不必像牛頓法那樣每次都要重新計(jì)算雅可比矩陣，這樣不僅減少了運(yùn)算量，而且也大大簡(jiǎn)化了程序；其次由于系數(shù)矩陣在迭代過程中維持不變，因此在求解修正方程式時(shí)，不必每次都對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行消去運(yùn)算，只需要在進(jìn)入迭代過程以前．將系數(shù)矩陣用三角分解形成因子表，然后反復(fù)利用因子表對(duì)不同的常數(shù)項(xiàng)或進(jìn)行消去和回代運(yùn)算，就可以迅速求得修正量，從而顯著提高了迭代速度。 特點(diǎn)(3)可以使我們減少形成因子表時(shí)的運(yùn)算量，而且由于對(duì)稱矩陣三角分解后，其上三角矩陣和下三角矩陣有非常簡(jiǎn)單

47、的關(guān)系，所以在計(jì)算機(jī)中可以只貯存上三角矩陣或下三角矩陣，從而也進(jìn)一步節(jié)約了內(nèi)存。 由于P-Q分解法大大提高了潮流計(jì)算的速度，所以不僅可用于離線計(jì)算，而且也可用于電力系統(tǒng)在線靜態(tài)安全監(jiān)視，從而得到了廣泛應(yīng)用。 P-Q分解法所采取的一系列簡(jiǎn)化假定只影響了修正方程式的結(jié)構(gòu)，也就是說只影響了迭代過程，但未影響最終結(jié)果。因?yàn)镻-Q分解法和牛頓法都采用同樣的數(shù)學(xué)模型[式(2-13)]，最后計(jì)算功率誤差和判斷收斂條件都是嚴(yán)格按照精確公式進(jìn)行的，所以P-Q分解法和牛頓法一樣都可以達(dá)到很高的精確度。 以上我們只是從P-Q分解法基本思路推導(dǎo)了它的修正方程式。表面看來，似乎式(2-75)和式(2-76)的系數(shù)

48、矩陣是一樣的，但在實(shí)際P-Q分解法程序中，兩個(gè)修正方程式的系數(shù)矩陣并不相同。一般可以簡(jiǎn)寫為 式中：V為以節(jié)點(diǎn)電壓幅值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。 為了改善P-Q分解法的收斂特性，與—般并不簡(jiǎn)單地是電力系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣的虛部。在實(shí)踐中，對(duì)與的不同處理，就形成了不同的P-Q分解法。以下就討論與的構(gòu)成。 首先應(yīng)該指山，與的階數(shù)是不同的，為n-1階，低于n-1階。因?yàn)槭?2-82)不包含與PV節(jié)點(diǎn)有關(guān)的方程式，因此，如果系統(tǒng)有r個(gè)PV節(jié)點(diǎn)，則應(yīng)為n-r-1階。 如前所述，式(2-81)和式(2-82)是經(jīng)過一系列簡(jiǎn)化之后得到的修正方程式。式(2-81)以有功功率誤差為依據(jù)修正電壓向量的角度；式(2-

49、82)以無功功率誤差為依據(jù)修正電壓幅值。為了加速收斂，使它們能更有效地進(jìn)行修正，可以考慮在中盡量去掉那些與有功功率及電壓向量角度無關(guān)或影響較小的因素。為此，我們以電力系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣的虛部作為，但是去掉了充電電容和變壓器非標(biāo)準(zhǔn)變比的影響。具體地說，的非對(duì)角元素和對(duì)角元素分別按下式計(jì)算： 式中和分別為支路ij的電阻和感抗. 從概念上講．應(yīng)該在中去掉那些對(duì)無功功率及電壓幅值影響較小的因素，例如，應(yīng)去掉輸電線路電阻對(duì)啪影響。因此，的非對(duì)角元素和對(duì)角元素分別按下式計(jì)算： 式中：為節(jié)點(diǎn)i的接地支路的電納。 按式(2-83)及式(2-84)形成與的P-Q分解法通常又叫BX法，與該方法相對(duì)應(yīng)的另

50、一種方法是XB法。在XB法中，與迭代用的按式(2-84)計(jì)算；與迭代用的按式(2-83)計(jì)算。雖然這兩種方法的修正方程式不同，但是都具有良好的收斂特性。對(duì)IEEE的幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試電力系統(tǒng)計(jì)算的收斂情況如表2-6所示，表中給出的是收斂迭代次數(shù)。 大量計(jì)算表明，BX法與XB法在收斂性方面沒有顯著差別。這兩種算法均有很好的收斂性，凡是牛頓法可以收斂的潮流問題，它們也可以收斂。文獻(xiàn)[9，10]對(duì)P-Q分解法簡(jiǎn)化的實(shí)質(zhì)作了一些解釋；文獻(xiàn)[19]針對(duì)較高時(shí)可能出現(xiàn)的收斂性問題，提出了魯棒快速分解潮流；文獻(xiàn)[29]利用稀疏向量技術(shù)提高了P-Q分解法的求解速度。有興趣的讀者可以參考。 如前所述，

51、P-Q分解法改變了牛頓法迭代公式的結(jié)構(gòu)，因此就改變了迭代過程的收斂特性。事實(shí)上，依一個(gè)不變的系數(shù)矩陣進(jìn)行非線性方程組的求解迭代，在數(shù)學(xué)上屬于“等斜率法”，其迭代過程是按幾何級(jí)數(shù)收斂的，如畫在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上，這種收斂特性基本上接近一條直線。而牛頓法是按平方收斂的，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上基本上是一條拋物線。圖2-8表示了兩種方法的典型收斂特性。 圖2-8 牛頓法與P-Q分解法的收斂性 由圖2-8可以看出，牛頓法在開始時(shí)收斂得比較慢，當(dāng)收斂到一定程度后，它的收斂速度就非常之快，而P-Q分解法幾乎是按同一速度收斂的。我們給出的收斂條件如果小于圖中A點(diǎn)相應(yīng)的誤差，那么P-Q分解法所需要的迭代次數(shù)要比牛頓法

52、多幾次。可以粗略地認(rèn)為P-Q分解法的迭代次數(shù)與精確度的要求之間存在著線性關(guān)系。 雖然P-Q分解法比牛頓法所需的迭代次數(shù)多，但是每次迭代計(jì)算量卻很?。虼薖-Q分解法的計(jì)算速度比牛頓法有明顯提高。例如，對(duì)IEEE的118節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)而言，用P-Q分解法計(jì)算一次潮流需CPU時(shí)間大約0.01s，而用牛頓法則需0.1s。 2.3.4 P-Q分解法潮流程序原理框圖 在圖2-9中表示了P-Q分解法潮流程序的基本原理框圖，從中可以看出計(jì)算的大致過程和程序的邏輯結(jié)構(gòu)(關(guān)于P-Q分解法潮流程序的細(xì)節(jié)問題，可以參看附錄)。 首先對(duì)圖中有關(guān)的符號(hào)加以說明： ：退迭代次數(shù)計(jì)數(shù)單元。

53、 ：是一個(gè)特征記數(shù)單元，只有“0”和“1”兩種狀態(tài)。當(dāng)?shù)泄β蕰r(shí)，為0；當(dāng)?shù)鸁o功功率時(shí)為1。在迭代過程中，順次迭代一次有功功率和一次無功功率才算進(jìn)行了一次迭代，這時(shí)變化一個(gè)周期，計(jì)數(shù)單元加1。 ：是功率誤差的數(shù)值．其中包括有功功率誤差及無功功率誤差。當(dāng) 時(shí)，（）為有功功率誤差；當(dāng)時(shí)，（）為無功功率誤差。 ：為電壓向量數(shù)組，包括各節(jié)點(diǎn)電壓的幅值及角度。當(dāng)時(shí)（）表示電壓的角度；當(dāng)時(shí)，（）表示電壓的幅值。 ERM：寄存每次迭代過程中最大的功率誤差，包括最大有功功率誤差及最大無功功率誤差。當(dāng)時(shí)，ERM()表示最大有功功率誤差；當(dāng)時(shí)，ERM〔)表示最大無功

54、功率誤差。 ：收斂條件，標(biāo)么值取。 由圖中可以看出、當(dāng)輸入信息及原始數(shù)據(jù)并對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行加工處理后，就可形成導(dǎo)納矩陣。然后，根據(jù)式(2-83)求出，并對(duì)進(jìn)行三角分解，形成第一個(gè)因子表(圖2-9中框③)，這就為P-Q迭代時(shí)求解修正方程式(2-81)作好了準(zhǔn)備。 根據(jù)式(2-84)，考慮輸電線路的充電電容及非標(biāo)準(zhǔn)變比變壓器的接地支路后，求出 ，并對(duì)它進(jìn)行三角分解，形成第二個(gè)因子表(圖2-9中框④)，這就為Q-V迭代時(shí)求解修正方程式(2-82)作好了準(zhǔn)備。 應(yīng)該指出，和的形成可在形成導(dǎo)納矩陣過程中同時(shí)進(jìn)行。同時(shí)，在框②中導(dǎo)納矩 陣形成以后，應(yīng)該把它貯存起來

55、，以便在迭代時(shí)利用它按式(2-77)、式(2-78)計(jì)算功率誤差。 圖中框⑤-⑩屬于迭代過程。迭代過程從送電壓初值開始。 框⑤的任務(wù)是向各節(jié)點(diǎn)送電壓初值。電壓初值應(yīng)按PQ節(jié)點(diǎn)及PV節(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行。一般對(duì)PQ節(jié)點(diǎn)來說其電壓幅值可送系統(tǒng)平均電壓；對(duì)PV節(jié)點(diǎn)來說，其電壓幅值應(yīng)送該節(jié)點(diǎn)要維持的電壓值。各節(jié)點(diǎn)電壓向量的角度初值可一律取零度。 框⑥建立了這代的初始狀態(tài)，迭代是由迭代開始的，因此應(yīng)置“0”。 圖2-9所示的計(jì)算程序是按，方式進(jìn)行迭代的，也就是說，首先進(jìn)行一次迭 代，然后進(jìn)行一次Q-V迭代，之后再進(jìn)行一次迭代……這樣反復(fù)下去。 框⑦按照式(2-77)或

56、式(2-78)計(jì)算各節(jié)點(diǎn)功率誤差．并記錄最大的功率誤差ERM()，以便校驗(yàn)是否收斂。 框⑧求解修正方程式，求出相應(yīng)的修正量，并修正電壓向量的角度或幅值。 框⑨的作用是建立下次迭代的狀態(tài)并對(duì)迭代過程計(jì)數(shù)。 框⑩的作用是校驗(yàn)整個(gè)潮流計(jì)算是否收斂。當(dāng)框中兩個(gè)條件都滿足時(shí)，就說明迭代及Q-V迭代均已收斂，因而可以轉(zhuǎn)出迭代過程，輸出潮流計(jì)算結(jié)果，否則應(yīng)轉(zhuǎn)入以下迭代過程。 圖2-9 P-Q分解法潮流程序的基本原理框圖 【例2-2】 用P-Q分解法計(jì)算圖2-6所示系統(tǒng)的潮流分布。 【解】 計(jì)算過程按照?qǐng)D2-9所示的程序進(jìn)行。 迭代計(jì)算前的準(zhǔn)備工作包括形成導(dǎo)納矩

57、陣、兩個(gè)因子表和送入電壓初值。導(dǎo)納矩陣見例1-1。 迭代過程中用以求解修正方程式的因子表為 應(yīng)該指出，在形成這個(gè)因子表時(shí)所用的應(yīng)按式(2-83)求出。 Q-V迭代過程中所用的因子表為 形成這個(gè)因子表所用的應(yīng)按式(2-84)求出。但是由于PV節(jié)點(diǎn)及平衡節(jié)點(diǎn)不參與Q-V迭代過程，因此在中不包括與這些節(jié)點(diǎn)有關(guān)的元素，只留下如下三階矩陣： 對(duì)它進(jìn)行消去運(yùn)算，不難得到上面的因子表。 各節(jié)點(diǎn)電壓初值和前面例2-1類似，只是在現(xiàn)在的情況下，電壓向量采用極坐標(biāo)表示法。系統(tǒng)平均運(yùn)行電壓取 這樣，各節(jié)點(diǎn)電壓向量的初值為 根據(jù)式(2-77)、式(2-78)，各節(jié)點(diǎn)功率誤差的計(jì)算式

58、為 現(xiàn)在，我們進(jìn)行第一次這代計(jì)算。首先，根據(jù)上面功率誤差計(jì)算式求出第一次迭代時(shí)各節(jié)點(diǎn)有功功率的誤差 這樣就可以得到修正方程式的常數(shù)項(xiàng) 用第一因子表對(duì)它進(jìn)行消去回代運(yùn)算以后，就得到各節(jié)點(diǎn)的修正量 必須注意，在迭代過程中，利用第一因子表對(duì)常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行消去回代運(yùn)算后應(yīng)得到見式[(2-81)]，但本例題采用標(biāo)全值進(jìn)行計(jì)算，且，因此 對(duì)各節(jié)點(diǎn)電壓向量角度進(jìn)行修正以后，得到第一次迭代后的 然后進(jìn)行Q-V迭代。各節(jié)點(diǎn)無功功率誤差為 修正方程式的常數(shù)項(xiàng)： 利用第二因子表對(duì)它進(jìn)行消去回代運(yùn)算，就得到各PQ節(jié)點(diǎn)電壓修正量 根據(jù)式(2-80)修正各節(jié)點(diǎn)電壓：

59、 這樣就完成了第一次迭代計(jì)算。 按照以上的計(jì)算步驟繼續(xù)迭代下去，當(dāng)收斂條件取時(shí)，迭代10次收斂。迭代過程中各節(jié)點(diǎn)電壓的變化情況列于表2-7中。 迭代過程中最大功率誤差和電壓誤差的變化情況列于表2-8 P-Q分解法在計(jì)算本例題時(shí)的收斂特性如圖2-10所示。由土中可以看出P-Q分解法收斂特性在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上是接近直線的，在迭代的開始階段它的收斂速度比牛頓法快一些。 圖2-10 P-Q分解法的收斂特性 潮流計(jì)算結(jié)果表示在圖2-11中，各支路潮流的計(jì)算方法可參看附錄。 圖2-11 潮流計(jì)算結(jié)果 （圖中各節(jié)點(diǎn)電壓向量的角度均為度） 2.5 靜態(tài)安全分析及

60、補(bǔ)償法 2.5.1 靜態(tài)安全分析概述 靜態(tài)安全分析是電力系統(tǒng)規(guī)劃和調(diào)度的常用手段，用以校驗(yàn)輸變電設(shè)備強(qiáng)迫退出運(yùn)行后系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，回答諸如“假如電網(wǎng)中某一條500kv輸電線路開斷后，系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)發(fā)生什么變化”之類的問題[21,22]。對(duì)這個(gè)問題的回答可能是系統(tǒng)的潮流和電壓都在容許的范圍之內(nèi)，或者出現(xiàn)某些輸變電設(shè)備過負(fù)荷或某些母線電壓越界的情況。前者的系統(tǒng)是安全的，后者則是不安全的。因此，靜態(tài)安全分析是電力系統(tǒng)安全分析的一個(gè)重要組成部分，它不涉及電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程的分析，故稱為靜態(tài)安全分析，是以下各節(jié)介紹的主要內(nèi)容。動(dòng)態(tài)安全分析問題的討論詳見第5章及第6章。 利用靜態(tài)安全

61、分析可以進(jìn)行事故預(yù)想，對(duì)一個(gè)輸電系統(tǒng)規(guī)劃方案而言，可以校驗(yàn)其承受事故的能力；對(duì)運(yùn)行中的電力系統(tǒng)而言，可以檢驗(yàn)其運(yùn)行方式及接線方式的安全性，進(jìn)而給出事故前后應(yīng)采用的防范措施或校正措施。靜態(tài)安全分析中需要校驗(yàn)的典型事故包括發(fā)電機(jī)組或輸變電設(shè)備的強(qiáng)迫停運(yùn)，也包括短路引起的保護(hù)動(dòng)作致使多個(gè)設(shè)備同時(shí)退出運(yùn)行的情況。 系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計(jì)人員在進(jìn)行發(fā)電系統(tǒng)和輸電系統(tǒng)規(guī)劃時(shí)，應(yīng)利用靜態(tài)安全分析考慮各種可能的設(shè)備開斷情況，并評(píng)估其后果是否滿足安全性的要求。為此，規(guī)劃設(shè)計(jì)人員一般需要增加一些冗余的設(shè)備或調(diào)整計(jì)劃以減少中斷供電的可能性。 在電力系統(tǒng)的運(yùn)行中，為了避免過負(fù)荷和電壓越界引起的設(shè)備損壞，或由于過負(fù)荷

62、設(shè)備在系統(tǒng)保護(hù)作用下退出運(yùn)行而導(dǎo)致大面積連鎖反應(yīng)性的停電，在線或?qū)崟r(shí)地進(jìn)行系統(tǒng)靜態(tài)安全分析非常重要[23,24]。特別是隨著電力市場(chǎng)的進(jìn)展，電力系統(tǒng)的發(fā)輸配電各環(huán)節(jié)由統(tǒng)一管理、統(tǒng)一調(diào)度逐步轉(zhuǎn)向雙邊合同交易和發(fā)電廠商的競(jìng)價(jià)上網(wǎng)，使系統(tǒng)運(yùn)行出現(xiàn)了諸多不確定因素，對(duì)電力系統(tǒng)運(yùn)行的安全監(jiān)視和控制提出了更高的要求。 由于不涉及元件動(dòng)態(tài)特性和電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程，靜態(tài)安全分析實(shí)質(zhì)上是電力系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)態(tài)分析問題，即潮流問題。也就是說，可以根據(jù)預(yù)想的事故，設(shè)想各種可能的設(shè)備開斷情況，完成相應(yīng)的潮流計(jì)算，即可得出系統(tǒng)是否安全的結(jié)論。但是，靜態(tài)安全分析要求檢驗(yàn)的預(yù)想事故數(shù)量非常大，而在線分析或?qū)崟r(shí)分析又要在

63、短時(shí)間內(nèi)完成這些計(jì)算、因此，開發(fā)研究了許多專門用于靜態(tài)安全分析的方法，如補(bǔ)償法、直流潮流法及靈敏度分析法等，以下將分別介紹這些基本的方法。 2.5.2 補(bǔ)償法 電力系統(tǒng)基本運(yùn)行方式計(jì)算完畢以后，往往還要求系統(tǒng)運(yùn)行人員或規(guī)劃設(shè)計(jì)人員進(jìn)行一些特殊運(yùn)行方式的計(jì)算，以分析系統(tǒng)中某些支路開斷以后系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，以下簡(jiǎn)稱斷線運(yùn)行方式。這對(duì)于確保電力系統(tǒng)可靠運(yùn)行，合理安排檢修計(jì)劃都是非常必要的。 發(fā)電廠運(yùn)行狀態(tài)的變化，如發(fā)電廠之間出力的調(diào)整和某些發(fā)電廠退出運(yùn)行等情況，在程序中都是比較容易模擬的。因?yàn)檫@時(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)均未發(fā)生變化，所以網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣、導(dǎo)納短陣以及P-Q分解法中的因

64、子表都應(yīng)和基本運(yùn)行方式一樣。因此，我們只要按照新的運(yùn)行方式給定各發(fā)電廠的出力，就可以直接轉(zhuǎn)入迭代程序。應(yīng)該指出，在這種情況下不必重新送電壓初值，利用基本運(yùn)行方式求得的節(jié)點(diǎn)電壓作為電壓初值可能更有利于收斂。 當(dāng)系統(tǒng)因故障或檢修而開斷線路或變壓器時(shí)，要引起電網(wǎng)參數(shù)或局部系統(tǒng)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，因此在這種情況下進(jìn)行潮流計(jì)算時(shí)，要修改網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣或?qū)Ъ{矩陣。 對(duì)于牛頓法潮流程序來說，修正導(dǎo)納矩陣以后，即可轉(zhuǎn)入迭代程序(見圖2-5)。 對(duì)于P-Q分解法來說，修改導(dǎo)納矩陣以后，應(yīng)該先轉(zhuǎn)入形成因子表程序，然后再進(jìn)行迭代計(jì)算(見圖2-9)。在程序編制上這樣處理比較簡(jiǎn)單，只需要增加修改

65、導(dǎo)納矩陣的程序，但是，由于需要重新形成因子表，因此計(jì)算速度較慢。 為了進(jìn)一步發(fā)揮P-Q分解法的優(yōu)點(diǎn)，提高計(jì)算速度，可以采用補(bǔ)償法的原理[7]，在原有基本運(yùn)行方式的因子表的基礎(chǔ)上進(jìn)行開斷運(yùn)行方式的計(jì)算。當(dāng)潮流程序用作在線靜態(tài)安全監(jiān)視時(shí)，利用補(bǔ)償法以加速順序開斷方式的檢驗(yàn)就顯得特別重要。 應(yīng)該指出，補(bǔ)償法的概念不僅應(yīng)用于P-Q分解法潮流程序中，也廣泛應(yīng)用在短路電流、復(fù)雜故障以及動(dòng)態(tài)穩(wěn)定計(jì)算程序的網(wǎng)絡(luò)處理上。以下首先介紹補(bǔ)償法的基本原理，然后討論如何利用補(bǔ)償法進(jìn)行開斷運(yùn)行方式的計(jì)算。 如圖2-12所示，設(shè)網(wǎng)絡(luò)N的導(dǎo)納矩陣已經(jīng)形成，并對(duì)它進(jìn)行三角分解而得到因子表?，F(xiàn)在的問題是，當(dāng)

66、向網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i、j之間追加阻抗時(shí)．如何根據(jù)已知的節(jié)點(diǎn)注入電流 利用原電力網(wǎng)絡(luò)N的因子表，求得新條件下的電壓 如果我們能夠求得流入原網(wǎng)絡(luò)N的注入電流向量 圖2-14 求電流的等效電路 那么利用原網(wǎng)絡(luò)因子表對(duì)此進(jìn)行消去回代運(yùn)算就可以得到節(jié)點(diǎn)電壓向量。但是在各節(jié)點(diǎn)電壓求出以前，追加支路上通過的電流并不知道，因而也就不能直接利用求節(jié)點(diǎn)電壓。 根據(jù)迭加原理，可以把圖2-12所示網(wǎng)絡(luò)拆為兩個(gè)等值網(wǎng)絡(luò)，如圖2-13(a)及(b)所示。節(jié)點(diǎn)電壓向量可以表示為 式中：相當(dāng)子沒有追加支路，或追加支路開路的情況下各節(jié)點(diǎn)的電壓向量，見圖2-13(a)。由于這種情況下各節(jié)點(diǎn)的注入電流已知，因此利用原網(wǎng)絡(luò)N的因子表不難求得 現(xiàn)在討論如何求得圖2-13(b)中各節(jié)點(diǎn)電壓。在這個(gè)圖中，向原網(wǎng)絡(luò)注入的電流向量為 圖2-13 補(bǔ)償法原理示意圖 其中現(xiàn)在暫時(shí)還是未知量。但如果假定，則利用原網(wǎng)絡(luò)因子表就可以求得當(dāng)為單位電流時(shí)，網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)的電壓 這樣，如果能求出那么由于網(wǎng)絡(luò)是線性的，就可以按下式求得最終的電壓向量： 因此，現(xiàn)在的關(guān)鍵問題就在于如何求