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2019-2020年八年級數學上冊《平方差公式》教學設計 人教新課標版 一、教學內容解釋 人教社《義務教育課程標準實驗教科書數學》八年級上冊“15﹒2﹒1平方差公式” 平方差公式是整式的乘除運算的延續(xù)，是后續(xù)數學學習的重要基礎，同時也是從一般到特殊的認識過程的范例.對它的學習和研究豐富了教學內容，也拓展了學生的視野. 平方差公式著重于研究平方差公式的發(fā)生過程.其發(fā)生過程便于學生掌握這一公式的結構特征，更能理解公式中字母的廣泛含義.在教學過程中，特別是探討知識發(fā)生的過程，并和學生一起研究知識如何從一般到特殊概括得到公式，這將有助于訓練學生的思維，使學生領會到數學的思想和方法. 在教學過程中，平方差公式的幾何意義的形成，學生通過對面積的思考，可以發(fā)現平方差公式與面積之間的內在聯系，拓展了學生的數形思維空間，促進了學生數學思考，進而感受到幾何與代數內在統一，同時強有力地培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神. 基于上述分析：本節(jié)課的教學重點是通過平方差公式的發(fā)生過程，理解平方差公式的結構特征，進而有意識的用平方差公式解決問題. 二、教學目標解析 1、經歷探究平方差公式的過程來推導平方差公式，理解平方差公式的結構特征，并能有意識地用平方差公式進行簡單的運算；了解平方差公式的幾何背景. 2、在探究平方差公式的過程中，發(fā)展學生的符號感和推理、概括能力；通過平方差公式的幾何背景的了解，體會代數與幾何的內在統一. 3、通過平方差公式的發(fā)生過程的探究，體會從一般到特殊的數學思想方法；通過平方差公式的應用，體會到數學符號表示運算規(guī)律的簡捷.在學習過程中，體會到數學精神的嚴謹和思維的深刻性. 三、數學問題診斷分析 1、教師教學過程中可能存在的問題 （1）為了迎合新課標，創(chuàng)設不切實際的情景； （2）不能有效地突破難點——平方差公式的結構特征，造成學生不能準確地應用公式； （3）過分地強調公式的形成，而造成教學過程的前重后輕，使學生在應用處練習不夠； （4）過分的強調平方差公式的幾何意義，造成學生學習上的困難而影響了學生的學習積極，同時也造成教學重點的混亂. 2、學生學習可能出現的問題 （1）不能掌握平方差公式的結構特征，機械地套用公式； （2）在平方差公式的形成過程中，學有困難的學生跟不上優(yōu)生的節(jié)奏而產生畏難的情緒，少有學習的激情; （3）過分地去鉆平方差公式的幾何意義，造成在應用處練習不夠. 3、教學難點 （1）平方差公式的結構特征及其有效地應用； （2）平方差公式的幾何意義. 四、教學支持條件分析 在教學過程中運用有效的教學手段：電子幻燈用于競賽；通過fiash的運用，直觀、形象地展現幾何意義的推導，增強學生的學習興趣；通過電子幻燈展現練習，提高效率. 五、教學過程設計 活動一 競賽激智，建立模型，揭示公式 問題1 看誰能又快又準地回答下面4個小題的計算結果.（教師用ppt逐個給出） (1) (5＋3)(5－3)﹦ (2) (0.5＋0.3)(0.5－0.3)﹦ (3) (5＋0.3)(5－0.3)﹦ (4) (0.5＋3)(0.5－3)﹦ （全部結果出來后）追問：你是如何計算的？ 設計意圖：以通過競賽為載體，以自主參與為教學形式，使學生從計算的快慢中產生疑惑：總是那幾個算得快，我怎么也能象他們那樣？進而激發(fā)學生的求知的熱情. 問題2：請計算下列多項式的積： (1) (x＋1)(x－1)﹦ (2) (m＋2)(m－2)﹦ (3) (2x＋1)(2x－1)﹦ (4) (x＋1)(x－1)﹦ （全部結果正確后）追問1：你們的計算結果有什么規(guī)律嗎？ 追問2：你發(fā)現多項式的積的表達形式有什么規(guī)律嗎？ 學生總結：（1）計算的結果都是兩項的平方差，與以往兩項乘以兩項的結果大多是三項或四項不同；（2）這些兩項乘以兩項中，有一項是完全相同，另一項又是互為相反的；（3）結果是兩項的平方差，并且是完全相同項的平方減區(qū)互為相反項的平方. 師生互動：（a＋b）（a－b）﹦a2－b2 兩個數的和與這兩個數的差的記，等于這兩個數的平方差. 教師：（1）這個公式叫做（乘法的）平方差公式. （2）公式中的字母可以表示具體的數，也可以表示單項式或多項式； （3）只要是符合公式的結構特征，都可以用公式進行計算. 學生練習：（教師用ppt展示） 1、下列多項式乘法中，能用平方差公式計算的有 A (x＋1)(1－x) B (a＋b)(b－a) C (－a＋b)(a－b) D (x2－y)( x ＋y2) E (－a－b)(a－b) F (c2－d2)(d2＋c2) 2、下面各式的計算對不對？如果不對，應當怎樣改正？ (1)（x＋2）（x－2）﹦x2－2； (2)(－3a－2)(3a－2)﹦9a2－4. 設計意圖：以學生熟悉的多項式的積為載體，以全部參與討論、歸納總結為教學形式，由于計算的結果與以往的結果在表現的形式上有大的差異，以及平方差公式的發(fā)生過程的探究，體會到從一般到特殊的數學思想方法；通過選擇、填空等的練習讓學生了理解、掌握平方差公式的結構特征，從心里感受這種一般到特殊的數學思想方法的魅力. 活動二 師生互動、感知代數、幾何的統一 師：請同學們將準備的正方形紙板拿出； （1）設它的邊長為a（圖1），大家都知道它的面積為a2； （2）請同學們按圖2剪去一個邊長為b的小正方形，大家都知道剩下部分的面積為（a2－b2）； （3）請同學們將剩下的圖形剪成（沿圖2的虛線）兩個長方形，并將一邊長為b的小長方形拼到一邊長為a的長方形后得圖3；同學們都知道圖3的一邊長為（a＋b），另一邊長為（a－b），面積為（a＋b）（a－b）； （4）同學們比較圖2和圖3不難發(fā)現它們面積的關系. 生：它們的面積相等，即（a＋b）（a－b）﹦a2－b2. a－b a b a＋b 圖(1) 圖(2) 圖(3) 師：我們通過拼圖游戲給出了平方差公式的一種幾何解釋.這說明平方差公式具有直觀的幾何意義，也說明代數不只是計算，還有美妙的幾何意義，這實際就是數學魅力.下面我們再一次欣賞平方差公式的幾何意義（教師出示flash動畫） 設計意圖：通過學生拼圖游戲，再通過教師的flash展示.學生直觀體驗了平方差公式的幾何意義，感受代數不只是計算，還有美妙的幾何意義，親身經歷了數學魅力所在. 活動三 例題分析、指導應用、鞏固理解 例1 運用平方差公式計算： (1)(3x＋2)(3x－2) (2)(b＋2a)(2a－b) (3)(－x＋2y)(－x－2y) 分析；（１）在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即 (3x＋2)(3x－2)﹦(3x)2－22 （a＋ b）（a－b）﹦a2 － b2 　　?。ǎ玻?2)調整成平方差公式形式計算. （3）這幾個題用平方差公式運算簡便. 學生練習：（教師用ppt展示） 運用平方差公式計算： (1)(a＋3b)(a－3b)； (2)(3＋2a)(－3＋2a)； (3)(x＋y)(x－y)； (4)(－mn－8)(－mn＋8) 設計意圖：通過一則平方差公式簡單的例題分析及應用，鞏固理解了公式結構特征，讓學生進一步感受到這種一般到特殊的數學思想方法的魅力. 活動四 拓展分析、提升能力 例２　計算 (1)10298； (2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5). 分析：只有符合公式要求的乘法，才能用公式簡化計算，其余的乘法運算仍按乘法法則計算. 學生練習：（教師用ppt展示） 運用平方差公式計算： （1）5149； （2）（3x＋4）（3x－4）－（2x＋3）（3x－2） 設計意圖：這是平方差公式的拓展例題分析及應用，使學生進一步體會平方差公式的結構特征，能進一步靈活運用乘法公式、法則進行計算. 活動5 歸納小結、優(yōu)化概念、布置作業(yè) 通過學生小結，讓他們明確平方差公式及其結構特征，體會數學中蘊涵的由一般到特殊的思想，體驗數學中代數與幾何的內在統一. 布置作業(yè)：教科書第156頁第1題. 六、目標檢測設計 1、填空 (1)（x＋4）（x ）﹦x2－16； (2)( )(2a－3)﹦9－4a2. 2、運用平方差公式計算： （1）（x－y）（x＋y）； （2）（xy＋1）（xy－1）； （3）（2a－3b）（2a＋3b）； （4）（－2b＋5）（－2b－5）； （5）xxxx； (6)(y＋5)(y－1)－(y－2)(y＋2). 設計意圖：第1題是填空題，學生通過填空進一步理解了平方差公式的結構特征，有利于后面的作業(yè)；第2題前4個小題直接用公式計算，便于所有的學生通過作業(yè)獲得學習的成功樂趣，后2個小題有一定的難度便于中等程度的學生跳一跳去摘取勝利的果實，少數學有余力的學生提高能力.作業(yè)由易到難的設計便于所有的學生從學習中獲得需要及不同的發(fā)展. 七、教學設計說明 通過學生已有的認知、經驗入手，讓學生感到學數學的價值是用已知來解決未知的世界，感到學習的親切.學生學習過程中，通過動手操作、欣賞動畫，體驗數學中代數與幾何的內在統一.在學習過程中，例題的設置是由淺入深，讓每個學生感到學有所成，感受到學習數學的樂趣.整個過程貫穿平方差公式的結構特征及由一般到特殊的思想的體驗，親身經歷了數學魅力所在.