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第十章 博弈論初步,一、博弈論和策略行為 二、同時博弈：純策略均衡 三、同時博弈：混合策略均衡 四、序貫博弈 五、其他的經(jīng)典博弈案例,Neumann 1903--1957,西方經(jīng)濟(jì)學(xué)·微觀·第7章 1,一、博弈論和策略行為,1.博弈論的產(chǎn)生與含義 ：博弈論在20世紀(jì)50年代由數(shù)學(xué)家約翰·馮·諾依曼（Von Neumann）和經(jīng)濟(jì)學(xué)家奧斯卡·摩根斯坦（Morgenstern）引入經(jīng)濟(jì)學(xué)，目前已經(jīng)成為主流經(jīng)濟(jì)分析的主要工具，對寡頭理論、信息經(jīng)濟(jì)學(xué)等經(jīng)濟(jì)理論的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)。 博弈論是研究在策略性環(huán)境中如何進(jìn)行策略性決策和采取策略性行動的科學(xué)。在策略性環(huán)境中，每一個人進(jìn)行的決策和采取的行動都會對其他人產(chǎn)生影響。因此，每個人在進(jìn)行策略性決策和采取策略性行動時，要根據(jù)其他人的可能反應(yīng)來決定自己的決策和行動。,2.幾個基本概念,（1）博弈參與人 參與人或稱局中人，是指博弈中的決策主體，即在博弈中進(jìn)行決策的個體。參與人既可以是個人，也可以是團(tuán)體（企業(yè)或國家）。每個參與人的目標(biāo)是通過選擇行動使自己的效用最大化。,（2）策略 策略是指參與人選擇行為的規(guī)則，也就是指參與人應(yīng)該在什么條件下選擇什么樣的行動，以保證自身利益最大化。,（3）支付，更多的稱為“得益” 支付指在所有參與人都選擇了各自的策略且博弈已經(jīng)完成之后，參與人獲得的效用（或期望效用）。,（4）支付矩陣 參與博弈的多個參與人的收益可以用一個矩陣或框圖表示，這樣的矩陣或框圖稱之為支付矩陣，也稱之為博弈矩陣或收益矩陣。博弈參與人、參與人的策略和參與人的支付構(gòu)成了博弈須具有的三個基本要素。,二、同時博弈：純策略均衡,1.支付矩陣——寡頭博弈舉例,表 10-1 寡頭博弈：合作與不合作,二、同時博弈：純策略均衡,2.同時博弈 “同時博弈”是參與人同時進(jìn)行決策或行動的博弈。在同時博弈中，在給定其他參與人的策略時，某個參與人的最優(yōu)策略稱之為該參與人的條件優(yōu)勢策略（簡稱條件策略），而包括該參與人的條件策略以及這些條件在內(nèi)的所有參與人的策略組合稱之為該參與人的條件優(yōu)勢策略組合（簡稱條件策略組合）。,3.占優(yōu)策略 在一些特殊的博弈中，一個參與人的最優(yōu)策略可能并不依賴于其他人的選擇。也就是說，無論其他參與人采取什么策略，該參與人的最優(yōu)策略是惟一的，這樣的策略稱之為占優(yōu)策略。如表10-2所示，通過對支付矩陣的分析可以看出，如果A、B兩廠商都是理性的，則這個博弈的結(jié)果是兩廠商都做廣告，即不管一個廠商如何決定，另外一個廠商都會選擇做廣告。這種策略均衡稱之為占優(yōu)策略均衡（equilibrium in dominant strategies）。,二、同時博弈：純策略均衡,4.納什均衡 并不是每個博弈的各個參與人都有一個占優(yōu)策略。如表10-3所示，通過對支付矩陣的分析可以看出，現(xiàn)在廠商A沒有占優(yōu)策略，它的最優(yōu)決策取決于廠商B的選擇。如果廠商B做廣告，則廠商A最好也做廣告；但如果廠商B不做廣告，廠商A不做廣告又是最好的選擇。這種均衡就是納什均衡（Nash equilibrium）。所謂納什均衡，指的是參與人的這樣一種策略組合，在該策略組合上，任何參與人單獨改變策略都不會得到好處。即如果在一個策略組合中，當(dāng)所有其他人都不改變策略時，沒有人會改變自己的策略，則該策略組合就是一個納什均衡。,表10-2 廣告博弈的支付矩陣,表10-3 廣告博弈的支付矩陣,二、同時博弈：純策略均衡,5.納什均衡與占優(yōu)均衡的區(qū)別與聯(lián)系 每一個占優(yōu)策略均衡一定是納什均衡，但并非每一個納什均衡都是占優(yōu)策略均衡。納什均衡是有條件的占優(yōu)策略均衡。 一個博弈可能存在一個以上的納什均衡，但是一個博弈也可能不存在純策略納什均衡，如表10-4所示。,表10-4 沒有納什均衡的同時博弈,例10.1說法錯誤的是（ ）。 A．占優(yōu)策略均衡一定是納什均衡 B．納什均衡不一定是占優(yōu)策略均衡 C．占優(yōu)策略均衡中，每個參與者都是在針對其他參與者的某個特定策略而做出最優(yōu)反應(yīng) D．納什均衡中，每個參與者都是在針對其他參與者的最優(yōu)反應(yīng)策略而做出最優(yōu)反應(yīng) 【解析】占優(yōu)策略均衡中，不論其他參與者采取何策略，每個參與者都會選擇其自身的最優(yōu)策略。,二、同時博弈：純策略均衡,6.尋找納什均衡的方法——條件策略下劃線法 對于一個簡單的“二人同時博弈”，可以用一個以二元數(shù)組為元素的支付矩陣來表示，并用“條件策略下劃線法”來確定它的納什均衡。具體步驟如下： （1）把整個博弈的支付矩陣分解為兩個參與人的支付矩陣。 （2）在第一個（即位于整個博弈矩陣左方的）參與人的支付矩陣中，找出每一列的最大者，并在其下畫線。 （3）在第二個（即位于整個博弈矩陣上方的）參與人的支付矩陣中，找出每一行的最大者，并在其下畫線。 （4）將已經(jīng)畫好線的兩個參與人的支付矩陣再合并起來，得到帶有下劃線的整個博弈的支付矩陣。 （5）在帶有下劃線的整個的支付矩陣中，找到兩個數(shù)字之下均畫有線的支付組合。由該支付組合代表的策略組合就是博弈的納什均衡。,表10-5 寡頭博弈：合作與不合作,二、同時博弈：純策略均衡,【例10.2】考慮兩寡頭廠商A和B的如下支付矩陣，二者的（納什）均衡策略組合為（ ）。 A．（U，L） B．（D，R） C．（U，R） D．（D，L） 【答案】B 【解析】在一個納什均衡里，任何一個參與者都不會改變自己的最優(yōu)策略．如果其他參與者均不改變各自的最優(yōu)策略，即要求任何一個參與者在其他參與者的最優(yōu)策略選擇給定的條件下，其選擇的策略也是最優(yōu)的。對于本題，當(dāng)B選擇U時，A會選擇R，因為5大于3；當(dāng)B選擇D時，A會選擇R，因為2大于0。當(dāng)A選擇L時，B會選擇U，因為4大于3；當(dāng)A選擇R時，B會選擇D，因為1大于0。因此，依據(jù)納什均衡定義，可知（D，R） 是納什均衡。,二、同時博弈：純策略均衡,7.囚徒困境 囚徒困境的博弈模型的假設(shè)條件是：甲、乙兩個被懷疑為合謀偷竊的嫌疑犯被警方抓獲，但警方對他們偷竊的證據(jù)并不充分。他們每一個人都被單獨囚禁，并單獨進(jìn)行審訊，即雙方無法互通信息。警方向這兩個嫌疑犯交待的量刑原則是：如果一方坦白，另一方不坦白，則坦白者從寬處理，判刑1年；不坦白者從重處理，判刑7年。如果兩人都坦白，則每人都各判刑5年。如果兩個都不坦白，則警方由于證據(jù)不足，只能對每個人各判刑2年。表10-6的支付矩陣描述了這一博弈。表中的報酬均為負(fù)數(shù)，以表示判刑的年數(shù)。,表10-6 囚徒困境,三、同時博弈：混合策略均衡,并不是所有的博弈都存在納什均衡。比如，如表10-7所示。這博弈就不存在純策略納什均衡，但卻存在混合策略納什均衡。混合策略納什均衡是這樣一種均衡，在這種均衡下，給定其他參與人的策略選擇概率，每個參與人都為自己確定了選擇每一種策略的最優(yōu)概率。,表10-7 社會福利博弈,所有參與人的混合策略的組合構(gòu)成“混合策略組合”。混合策略組合與參與人的支付的乘積之和為參與人的期望支付。當(dāng)其他參與人的混合策略確定之后，某個參與人選擇的可以使自己的期望支付達(dá)到最大的混合策略是該參與人的條件混合策略（其幾何表示為“條件混合策略曲線”）。不同參與人的條件混合策略曲線的“交點”就是混合策略條件下的納什均衡?？梢宰C明，混合策略均衡總是存在的。,三、同時博弈：混合策略均衡,【例10.3】在一條狹窄巷子里，兩個年青人騎著自行車相向而行。每人都有兩個策略，即或者選擇“沖過去”或者選擇“避讓”。如果選擇“避讓”，不管對方采取什么策略，他得到的收益都是0。如果其中一個人采取“沖過去”的策略，如果對方采取“避讓”，那么他得到的收益是9；如果對方不避讓，那么他得到的收益是-36。這個博弈有兩個純策略納什均衡和（ ）。 A．一個混合策略納什均衡，即兩人都以80%概率選擇“避讓”，以20%的概率選擇“沖過去” B．兩個混合策略納什均衡，即每個青年人輪流采取避讓或者沖過去 C．一個混合策略納什均衡，即一人以80％的概率選擇“避讓”，另一人以20％的概率選擇“沖過去” D．一個混合策略納什均衡，即兩人都以40％的概率選擇“避讓”，以60％的概率選擇“沖過去”,三、同時博弈：混合策略均衡,【例10.3】續(xù)【答案】A 【解析】根據(jù)題中條件可寫出兩人的收益矩陣，如表10-8所示。注：混合策略情況下的決策原則有以下兩個： （1）博弈參與者互相不讓對方知道或猜到自己的選擇，因而必須在決策時利用隨機(jī)性來選擇策略，避免任何有規(guī)律性的選擇。 （2）博弈參與者選擇每種策略的概率一定要恰好使對方無機(jī)可乘，即讓對方無法通過有針對性傾向的某一種策略而在博弈中占上風(fēng)。 從10-8可看出，有兩個純策略納什均衡（沖過去，避讓），（避讓，沖過去）。設(shè)甲沖過去的概率為 r ，乙沖過去的概率為 c 。對甲來說，應(yīng)該使乙沖過去的期望收益等于避讓的期望收益，即 -36r+9（1-r）=0，解得r=0.2；對乙來說，也應(yīng)該使甲沖過去的期望收益等于避讓的期望收益，即-36c+9（1-c)=0，解得c=0.2。所以，存在一個混合策略納什均衡。,表10-8 兩人的收益矩陣,四、序貫博弈,“序貫博弈”是參與人的決策和行動有先有后的博弈。描述序貫博弈的更加方便也更加自然的工具是“博弈樹”。博弈樹由“點”（包括“起點”、“中間點”、“終點”）、連接點的“線段”以及標(biāo)在這些點和線段旁邊的文字和數(shù)字組成。在博弈樹中，一個納什均衡代表一條均衡的路徑。在該均衡路徑上，沒有哪個參與人愿意單獨改變自己的策略。,圖10-1 博弈樹,四、序貫博弈,在序貫博弈中，可能存在多個納什均衡的情況。在多個納什均衡中，有些可能并不合理。所謂對納什均衡的“精煉”，就是要從眾多的納什均衡中進(jìn)一步確定“更好”的納什均衡。納什均衡的精煉方法通常是使用所謂的“逆向歸納法”，具體包括以下兩個步驟： 第一步，先從博弈的最后階段的每一個決策點開始，確定相應(yīng)參與人此時所選擇的策略，并把參與人所放棄的其他策略刪除，從而得到原博弈的一個簡化博弈。 第二步，再對簡化博弈重復(fù)步驟一的程序，直到最后，得到原博弈的一個最簡博弈。這個最簡博弈，就是原博弈的解；而在存在多重納什均衡時，它就是對納什均衡的精煉。,四、序貫博弈,【例10.4】在下面的博弈樹中，確定納什均衡和逆向歸納策略。 答：納什均衡是（決策1，決策3）、逆向歸納策略也是（決策1，決策3）。 （1）（決策1，決策3）是一個納什均衡。在該策略組合上，沒有哪個參與人愿意單獨改變策略。首先，參與人B不會單獨改變自己的策略。如果它單獨改變策略，即將原來的決策3變?yōu)闆Q策4，參與人B的支付將從原來的3下降到0。其次，參與人A也不會單獨改變自己的策略。如果它單獨改變策略，即將原來的決策1變?yōu)闆Q策2，則策略組合就成為（決策2，決策3），參與人A的支付將從原來的1下降到0。 （2）采用逆向歸納法，可判斷逆向歸納策略也是（決策1，決策3）。首先，如果參與人A選擇決策1，參與人B肯定不會選擇決策4。另一方面，如果參與人A選擇決策2，參與人B肯定不會選擇決策4。在此情況下，考察參與人A的選擇。由博弈樹可以看出，參與人A的最優(yōu)選擇是決策1。最終結(jié)果是，參與人A選擇決策1，參與人B選擇決策3，即最優(yōu)策略組合為（決策1，決策3）。,五、其他的經(jīng)典博弈案例,1.智豬博弈 豬圈里有兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬。豬圈的一邊有個踏板，另一邊有一個投食口，每踩一下踏板，投食口就會落下少量的食物。如果有一只豬去踩踏板，另一只豬就有機(jī)會，搶先吃到落下的食物。當(dāng)小豬踩動踏板時，大豬會在小豬跑到食槽之前，吃光所有的食物；若是大豬踩動了踏板，則還有機(jī)會在小豬吃完之前，跑到食槽，搶到一點殘羹。,五、其他的經(jīng)典博弈案例,1.智豬博弈 有關(guān)描述：無論哪頭豬按一下按鈕會有10個單位的豬食進(jìn)槽，但誰按按鈕誰就需要付2個單位的成本。若大豬先到，大豬吃到9個單位，小豬只能吃1個單位；若同時到，大豬吃7個單位，小豬吃3個單位；若小豬先到，大豬吃6個單位，小豬吃4個單位。,五、其他的經(jīng)典博弈案例,1.智豬博弈,等待,小豬,大豬,按,等待,按,,,,,,,4大于1 0大于-1,,納什均衡：大豬按，小豬等待 各得四個單位（4，4） 多勞者不多得,矩陣分析,五、其他的經(jīng)典博弈案例,1.智豬博弈,結(jié)果是：小豬肯定會選擇“搭便車”策略，而大豬不得不去踩踏板，為一點殘羹，不知疲倦地奔波于踏板和食槽之間。,小樣，肯定不會去踩，我踩，能吃一半，不踩，鐵定餓肚子，唉，沒辦法只能親自動腳了！,我去踩，一口都沒有，我才不去踩呢！,五、其他的經(jīng)典博弈案例,決定大豬、小豬策略的核心指標(biāo)：每次落下的食物數(shù)量和踏板與投食口之間的距離。,改變方案一：減量方案。投食僅原來的一半份量。結(jié)果是小豬大豬都不去踩踏板了。 改變方案二：增量方案。投食為原來的一倍份量。結(jié)果是小豬、大豬都會去踩踏板。 改變方案三：減量并且移位方案。投食僅原來的一半分量，但同時將投食口移到踏板附近。結(jié)果呢，小豬和大豬都在拼命地?fù)屩忍ぐ濉?五、其他的經(jīng)典博弈案例,智豬博弈的應(yīng)用： 例1：公司治理。股份公司中，股東承擔(dān)著監(jiān)督經(jīng)理的職能，但股東中有大股東和小股東之分，他們從監(jiān)督中得到的收益不同。監(jiān)督經(jīng)理需要收集信息，花費時間。 在監(jiān)督成本相同的情況下，大股東從監(jiān)督中得到的好處顯然多于小股東。這里，大股東類似“大豬”，小股東類似“小豬”。納什均衡是大股東擔(dān)當(dāng)起搜集信息、監(jiān)督經(jīng)理的責(zé)任，而小股東選擇搭便車。,五、其他的經(jīng)典博弈案例,智豬博弈的應(yīng)用： 例2：股票市場。股市上有大戶，也有小戶，大戶類似“大豬”，小戶類似“小豬”。這時候，對小戶而言，“跟大戶”是最優(yōu)選擇，而大戶則必須自己搜集信息，進(jìn)行分析。,五、其他的經(jīng)典博弈案例,智豬博弈的應(yīng)用： 例3：大企業(yè)與小企業(yè)的關(guān)系。進(jìn)行研究開發(fā)，為新產(chǎn)品做廣告，對大企業(yè)是值得的，對小企業(yè)則得不償失，所以，一種可能的情況是，小企業(yè)把精力花在模仿上，或等待大企業(yè)用廣告打開市場后出售廉價產(chǎn)品。,五、其他的經(jīng)典博弈案例,智豬博弈的應(yīng)用： 例4：公共產(chǎn)品的提供上也可能出現(xiàn)。比如村里住兩戶人家，一戶富，一戶窮，有一條路年久失修。這時候，誰修呢？ 一般富戶會承擔(dān)起修路的責(zé)任，窮戶則很少會這樣干，因為富戶家常常是高朋滿座，坐車坐轎的都來，而窮戶家只是自己穿著破鞋走路，路修好了他走起來舒服，路修不好他也無所謂。,五、其他的經(jīng)典博弈案例,智豬博弈的應(yīng)用： 例5：改革中也有類似的情況。同樣的改革帶給一部分人的好處可能比另一部分人大得多。這時候，前一部分人比后一部分人更有積極性改革，改革往往就是由這些“大豬”推動的。如改革能創(chuàng)造出更多的“大豬”來，改革的速度就會加快。,五、其他的經(jīng)典博弈案例,2.性別戰(zhàn) 有關(guān)描述：一男一女談戀愛，有些業(yè)余活動要安排，或者去看足球比賽，或者看芭蕾舞演出。男的偏好足球，女的則更喜歡芭蕾，但他們都寧愿在一起，不愿分開。,女,足球,芭蕾,足球,芭蕾,男,矩陣分析,五、其他的經(jīng)典博弈案例,2.性別戰(zhàn) 這個博弈中，有兩個納什均衡：（足球，足球），（芭蕾，芭蕾）。就是說給定一方去足球場，另一方也會去足球場；類似地，給定一方去看芭蕾，另一方也會去看芭蕾。那么，究竟哪一個納什均衡會實際發(fā)生？可能無法知道。但實際生活中，也許是以此看足球，下次看芭蕾，如此循環(huán)，形成一種默契。這里還有一個先動優(yōu)勢，比如若男的買票，兩人就會出現(xiàn)在足球場，若女的買票，兩人就會在芭蕾舞廳。,女,足球,芭蕾,足球,芭蕾,男,矩陣分析,五、其他的經(jīng)典博弈案例,3.斗雞博弈 有關(guān)描述：設(shè)想兩個人舉著火棍從獨木橋的兩端走向中央進(jìn)行火拼，每個人都有兩種戰(zhàn)略：繼續(xù)前進(jìn)，或退下陣來。若兩人都繼續(xù)前進(jìn)，則兩敗俱傷；若一方前進(jìn)另一方退下來，前進(jìn)者取得勝利，退下來的丟了面子；若兩人都退下來，兩人都丟面子。,矩陣分析,五、其他的經(jīng)典博弈案例,3.斗雞博弈 這個博弈也有兩個納什均衡：如果一方進(jìn)，另一方的最優(yōu)戰(zhàn)略就是退。兩人都進(jìn)或都退都不是納什均衡。,矩陣分析,五、其他的經(jīng)典博弈案例,斗雞博弈的應(yīng)用： 例1：公共產(chǎn)品的供給也有這種情況。若村子里住的是兩戶富人，有一條路要修，一種可能的情況是，一家修路，另一家就不修；一家不修，另一家就得修（總結(jié)：公共產(chǎn)品的供給可能是囚徒博弈，也可能是智豬博弈，還有可能是斗雞博弈，依具體產(chǎn)品而定。）,五、其他的經(jīng)典博弈案例,斗雞博弈的應(yīng)用： 例2：蘇美兩個軍事集團(tuán)搶地盤。冷戰(zhàn)期間，蘇美兩個軍事集團(tuán)在世界各地?fù)屨嫉乇P，也是一種斗雞博弈。一般來說，如果一方已經(jīng)搶占了一塊地盤，另一方就設(shè)法占領(lǐng)另一塊地盤，而不是與對手競爭同一塊地盤。,五、其他的經(jīng)典博弈案例,斗雞博弈的應(yīng)用： 例3：警察與游行隊伍。游行隊伍與警察越來越近，這時候，定有一方要退下來，如果警察不讓步，游行隊伍便會向后退；反過來，如果游行隊伍來勢很猛，警察就得撤退。（警察與劫持人質(zhì)的匪徒之間也是如此） 啟示：若每一方都寄望于對方退下陣來，兩敗俱傷的結(jié)局也可能出現(xiàn)。如QQ與360。,五、其他的經(jīng)典博弈案例,4.市場進(jìn)入阻撓 有關(guān)描述：設(shè)想有一個壟斷企業(yè)已在市場上（稱為在位者），另一個企業(yè)虎視眈眈想進(jìn)入（稱為“進(jìn)入者”）。在位者想保持壟斷地位，所以要阻撓進(jìn)入者進(jìn)入。在這個博弈中，進(jìn)入者有兩種戰(zhàn)略可以選擇：進(jìn)入還是不進(jìn)入；在位者也有兩種戰(zhàn)略：默許還是斗爭。假定進(jìn)入之前壟斷利潤為300，進(jìn)入之后寡頭利潤合為100（各得50），進(jìn)入成本為10。,五、其他的經(jīng)典博弈案例,4.市場進(jìn)入阻撓 也有兩個納什均衡，即（進(jìn)入，默許），（不進(jìn)入，斗爭）。為什么（進(jìn)入，默許）是納什均衡？因為給定進(jìn)入者進(jìn)入，在位者選擇默許時得50單位利潤，選擇斗爭時無利潤，所以，最優(yōu)策略是默許。類似，給定在位者選擇默許，進(jìn)入者的最優(yōu)策略是進(jìn)入。 盡管進(jìn)入者選擇不進(jìn)入，默許和斗爭對在位者是一個意思，只有當(dāng)在位者選擇斗爭時，不進(jìn)入才是進(jìn)入者的最優(yōu)，所以（不進(jìn)入，斗爭）是納什均衡，而非（不進(jìn)入，默許）。,矩陣分析,