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2.1認識一元二次方程 第1課時 一元二次方程 教學目標 1．了解一元二次方程的概念；(重點) 2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，能分清二次項、一次項與常數(shù)項以及二次項系數(shù)、一次項系數(shù)等，會把一元二次方程化成一般形式；(重點) 3．能根據(jù)具體問題的數(shù)量關系，建立方程的模型．(難點) 教學重難點 【教學重點】 認識產生一元二次方程知識的必要性 【教學難點】 列方程的探索過程 課前準備 課件等. 教學過程 一、情景導入 一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？ 設苗圃的寬為xm，則長為(x＋2)m. 根據(jù)題意，得x(x＋2)＝120. 所列方程是否為一元一次方程？ (這個方程便是即將學習的一元二次方程．) 二、合作探究 探究點一：一元二次方程的概念 【類型一】 判定一元二次方程 下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序號即可)． ①－y＝0；②2x2－x－3＝0；③＝3； ④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2＝2； ⑦x2＋3x－＝0；⑧＝2. 解析：由一元二次方程的定義知③⑤⑦⑧不是，答案為①②④⑥. 方法總結：判斷一個方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再對它進行整理，若能整理為ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，則這個方程就是一元二次方程． 【類型二】 根據(jù)一元二次方程的概念求字母的值 a為何值時，下列方程為一元二次方程？ (1)ax2－x＝2x2－ax－3； (2)(a－1)x|a|＋1＋2x－7＝0. 解析：(1)將方程轉化為一般形式，得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，所以當a－2≠0，即a≠2時，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a－1≠0知，當a＝－1時，原方程是一元二次方程． 解：(1)當a≠2時，方程ax2－x＝2x2－ax－3為一元二次方程； (2)因為|a|＋1＝2，所以a＝±1.當a＝1時，a－1＝0，不合題意，舍去．所以當a＝－1時，原方程為一元二次方程． 方法總結：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，列出關于某個字母的方程，再排除使二次項系數(shù)等于0的字母的值． 【類型三】 一元二次方程的一般形式 把下列方程轉化成一元二次方程的一般形式，并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項： (1)x(x－2)＝4x2－3x； (2)－＝； (3)關于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0)． 解析：首先對上述三個方程進行整理，通過“去分母，去括號，移項，合并同類項”等步驟將它們化為一般形式，再分別指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項． 解：(1)去括號，得x2－2x＝4x2－3x.移項、合并同類項，得3x2－x＝0.二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為－1，常數(shù)項為0； (2)去分母，得2x2－3(x＋1)＝3(－x－1)．去括號、移項、合并同類項，得2x2＝0.二次項系數(shù)為2，一次項系數(shù)為0，常數(shù)項為0； (3)移項、合并同類項，得(m＋n)x2＋(m－n)x＋p－q＝0.二次項系數(shù)為m＋n，一次項系數(shù)為m－n，常數(shù)項為p－q. 方法總結：(1)在確定一元二次方程各項系數(shù)時，首先把一元二次方程轉化成一般形式，如果在一般形式中二次項系數(shù)為負，那么最好在方程左右兩邊同乘－1，使二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)； (2)指出一元二次方程的各項系數(shù)時，一定要帶上前面的符號； (3)一元二次方程轉化為一般形式后，若沒有出現(xiàn)一次項bx，則b＝0；若沒有出現(xiàn)常數(shù)項c，則c＝0. 探究點二：建立一元二次方程模型 如圖，現(xiàn)有一張長為19cm，寬15cm的長方形紙片，需要在四個頂角處剪去邊長是多少的小正方形，才能將其做成底面積為81cm2的無蓋長方體紙盒？請根據(jù)題意列出方程． 解析：小正方形的邊長即為紙盒的高，中間虛線部分則為紙盒底面，設出未知數(shù)，利用長方形面積公式可列出方程． 解：設需要剪去的小正方形邊長為xcm，則紙盒底面的長方形的長為(19－2x)cm，寬為(15－2x)cm. 根據(jù)題意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理，得x2－17x＋51＝0(x＜)． 方法總結：列方程最重要的是審題，只有理解題意，才能恰當?shù)卦O出未知數(shù)，準確地找出已知量和未知量之間的等量關系，正確地列出方程．在列出方程后，還應根據(jù)實際需求，注明自變量的取值范圍． 三、板書設計 一元二次方程 教學反思 本課通過豐富的實例，讓學生觀察、歸納出一元二次方程的有關概念，并從中體會方程的模型思想．通過本節(jié)課的學習，應該讓學生進一步體會一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效數(shù)學模型，初步培養(yǎng)學生的數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣. - 3 -