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第十單元 無窮級數
一、無窮級數的概念與性質
1、無窮級數：，簡稱級數。其中un稱為通項，也叫一般項。
為級數的前n項的部分和。
收斂：存在，且稱為級數的和。
發(fā)散：不存在。
數項級數：中的每項un均為常數。
函數項級數：中的項un不全為常數。
2、基本性質
性質1、若收斂于S，則收斂于kS；
若發(fā)散，k≠0，則也發(fā)散。
性質2、若與皆收斂，則也收斂。
性質3、在前面部分去掉或添上有限項，不改變級數的收斂性。
性質4、收斂級數加括號后所得的級數仍收斂于原級數的和。
性質5、（收斂的必要條件）若收斂，則必有。
說明：并不能保證一定收斂。
推論：，則必定發(fā)散。
三個標準級數：
（1） 等比級數：
（2） p—級數：
（3） 調和級數：
例1 若級數收斂，記，則（ B ）
例2 若級數收斂，則下列級數不收斂的是（ B ）
例3 判定的收斂性。
解：因
所以，收斂，且收斂于。
二、正項級數
1、定義：若中的每一項un≥0，（n=1，2，…）則稱為正項級數。
2、比較判別法（審斂法）
若與皆為正項級數，且0≤un≤vn(n=1,2,…),則
（1） 當收斂時，必收斂； （大斂小必斂）
（2） 當發(fā)散時，必發(fā)散； （小散大必散）
3、比值判別法
設為正項級數，且，則
（1） 當ρ<1時，收斂；
（2） 當ρ>1時，發(fā)散；
（3） 當ρ=1時，此法失效。
說明：（1）un中含n!時，用比值法較為方便；
（2）利用比較法時，要先有個初步估計，然后選擇一個標準級數與之比較。
4、極限形式的比較判別法
設與皆為正項級數，且，則與的收斂性相同。
例1 設與都是非功過正項級數，且un≤vn(n=1,2,…),則下列命題正確的是 （ D ）
例2 判定級數的收斂性。
解：因
所以級數發(fā)散。 （推論）
例3 判定的收斂性。
解：因
所以收斂。
例4判定級數（a>0,a≠e）的收斂性。
解：
故當a>e時，收斂；
0
0)的級數稱為交錯級數。
（2）萊布尼茲定理：若交錯級數（其中un>0，n=1,2…）滿足① un >un+1，n=k,k+1,…,②,
則必定收斂，且其和S≤u1,余項的絕對值。
（3）萊布尼茲級數
，該級數為收斂級數。（可作為公式使用）
四、絕對收斂與條件收斂
1、絕對收斂：若收斂，則必收斂，此時稱絕對收斂。
2、條件收斂：若收斂，而發(fā)散，此時稱條件收斂。
3、交錯級數判斂的一般步驟：
①先判定的收斂，若收斂，則絕對收斂。
②若發(fā)散，再考察的收斂性，如果收斂，則為條件收斂。
例1 當滿足下列條件（ D ）時，收斂。
收斂
例2 下列級數中條件收斂的級數是（ C ）
說明：A、B的通項的極限不為零；D絕對收斂。
例3 級數是（ A ）
A、絕對收斂 B、條件收斂 C、發(fā)散 D、收斂性不能判定
說明：取絕對值后為的正項p級數，故絕對收斂。
例4 判定級數的斂散性。
解：所給級數為交錯級數，，且滿足，
所以，由萊布尼茲定理可知：收斂。
例5 研究級數的收斂性，其中常數a>0。
解：記,則,從而知為p級數，且
當a>1時，收斂，故絕對收斂；
當01時，絕對收斂；
當0R時, 發(fā)散;
當︱x︱=R時, 可能收斂也可能發(fā)散.。
則稱R為的收斂半徑，（-R，+R）為的收斂區(qū)間。
說明：在收斂區(qū)間（-R，+R）內，絕對收斂，兩端點處需另外討論，不作要求。
六、收斂半徑的求法
1、對于不缺項的冪級數
設冪級數的系數有，則
（1） 當0<ρ<+∞時，有；
（2） 當ρ=0時，定義R=+∞；
（3） 當ρ=+∞時，定義R=0。
2、對于缺項的冪級數，例如
令，考察
則當ρx2<1，即時，級數收斂，可知
（1） 當0<ρ<+∞時，；
（2） 當ρ=0時，定義R=+∞；
（3） 當ρ=+∞時，定義R=0。
例1 設冪級數在x=2處收斂，則該級數在x=-1處必定（ C ）
A、 發(fā)散 B、條件收斂 C、絕對收斂 D、斂散性不能確定
例2冪級數的收斂半徑為（ 1 ）
解：該級數為不缺項的冪級數，故
所以收斂半徑：
例3 求的收斂半徑、收斂區(qū)間。
解：該級數為不缺項的冪級數，故
所以收斂半徑：，收斂區(qū)間為（-∞，+∞）。
例4求的收斂半徑、收斂區(qū)間。
解：該級數為不缺項的冪級數，故
所以收斂半徑：，收斂區(qū)間為（-3，3]。
例5 求的收斂半徑、收斂區(qū)間。
解：該級數為不缺項的冪級數，故
所以收斂半徑：，所以僅在x=0處收斂。
例6 求冪級數的收斂半徑與收斂區(qū)間。
解：該級數為不缺項的冪級數，故
所以收斂半徑：，收斂區(qū)間為（-1，1）。
例7求的收斂區(qū)間。 （x-x0）型
解：令t=x-1,級數變?yōu)?
因
所以R=2，即-20）（1）展開為x的冪級數；（2）展開為x-b的冪級數 (b≠a)。 （與相近）
解：（1）
收斂區(qū)間為：，即-a
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