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第十一章 復數(shù)、算法、推理與證明,第4節(jié) 直接證明與間接證明,,1．了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點． 2．了解反證法的思考過程和特點．,[要點梳理] 1．直接證明,已知條件,待證結論,原因,結果,待證結論,充分條件,結果,產(chǎn)生這一,結果的原因,已知,可知,未知,必要條件,未知,需知,已知,充分條件,質(zhì)疑探究：綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系？ 提示：(1)分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋求它成立的充分條件．(2)綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它成立的必要條件．(3)分析法易于探索解題思路，綜合法易于過程表述，在應用中視具體情況擇優(yōu)選之．,2．間接證明,Q不成立,[解析] 因為a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0. [答案] D,3．(2014·山東高考)用反證法證明命題“設a，b為實數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是( ) A．方程x2＋ax＋b＝0沒有實根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個實根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個實根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個實根 [解析] “方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”等價于“方程x2＋ax＋b＝0有一個實根或兩個實根”，所以該命題的否定是“方程x2＋ax＋b＝0沒有實根”． [答案] A,[答案] 3,[答案] －b,,思路點撥 (1)取特殊值代入計算即可證明； (2)對照新定義中的3個條件，逐一代入驗證，只有滿足所有條件，才能得出“是理想函數(shù)”的結論，否則得出“不是理想函數(shù)”的結論．,拓展提高 用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結論，綜合法的適用范圍： (1)定義明確的問題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無條件的等式或不等式． (2)已知條件明確，并且容易通過分析和應用條件逐步逼近結論的題型．在使用綜合法證明時，易出現(xiàn)的錯誤是因果關系不明確，邏輯表達混亂．,思路點撥 本題若使用綜合法，不易尋求證題思路．可考慮使用分析法． [證明] ∵m0，∴1＋m0. 所以要證原不等式成立， 只需證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證m(a2－2ab＋b2)≥0， 即證(a－b)2≥0， 而(a－b)2≥0顯然成立，故原不等式得證．,拓展提高 分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結論等，運用分析法必須考慮條件的必要性是否成立．通常采用“欲證—只需證—已知”的格式，在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性．,拓展提高 當一個命題的結論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證，反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①與已知條件矛盾；②與假設矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學證明中的一件有力武器．,規(guī)范答題11 反證法證明題的規(guī)范答題 典例 (2013·陜西高考)(本小題滿分12分)設{an}是公比為q的等比數(shù)列． (1)推導{an}的前n項和公式； (2)設q≠1，證明：數(shù)列{an＋1} 不是等比數(shù)列． 審題視角 (1)利用等比數(shù)列的概念及通項公式推導前n項和公式；(2)利用反證法證明要證的結論． [滿分展示],,提醒：(1)推導Sn時，不可漏掉q＝1. (2)假設{an＋1}是等比數(shù)列時，不可用a1＋1，a2＋1與a3＋1建立關系來說明矛盾． 【答題模板】 第1步：當q＝1時，求Sn. 第2步：當q＝1時，構造qSn. 第3步：錯位相減． 第4步：假設結論、構造等式． 第5步：轉化為關于q的方程，得出矛盾． 第6步：得出正確結論．,[思維升華] 【方法與技巧】,1．分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知． 2．綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知． 3．分析法和綜合法各有優(yōu)缺點．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便于思考．實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來．,【失誤與防范】,1．用分析法證明數(shù)學問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結論． 2．利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的．,