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連云港市2010屆高三二模數(shù)學(xué)模擬試題 一、填空題（每小題5分，共70分） 1、 若，則集合的元素個(gè)數(shù)為 ▲ ． 2、若復(fù)數(shù)其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為 ▲ . 3、對(duì)某種電子元件使用壽命跟蹤調(diào)查，抽取容量為1000的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)此圖可知這批樣本中電子元件的壽命在300~500小時(shí)的數(shù)量是____▲____個(gè)．650 4、 一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，那么這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為 ▲ ． 5、已知不等式對(duì)于,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ▲ . 6、已知A（－3，0），B（0，），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且∠AOC＝60，＝λ＋，則實(shí)數(shù)λ的值是 ▲ ． 7、已知兩圓(x－1)2+(y－1)2＝r2和(x+2)2+(y+2)2＝R2相交于P,Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ▲ ． 8、已知雙曲線（為銳角）的右焦為F，P是右支上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PF長(zhǎng)為半徑的圓在右準(zhǔn)線上截得的弦長(zhǎng)恰好等于|PF|，則的值為 ▲ . … … 9、把數(shù)列{}的所有項(xiàng)按照從大到小，左大右小的原則寫(xiě)成如圖所示的數(shù)表，第k行有2k－1個(gè)數(shù)，第k行的第s個(gè)數(shù)（從左數(shù)起）記為(k，s)，則 可記為 ▲ ． 4 O y xy 10、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 ▲ . 11、已知函數(shù)． （Ⅰ）方程在區(qū)間上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是_____▲_____； （Ⅱ）對(duì)于下列命題：① 函數(shù)是周期函數(shù)； ② 函數(shù)既有最大值又有最小值； ③ 函數(shù)的定義域是R，且其圖象有對(duì)稱軸； ④對(duì)于任意（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）． 其中真命題的序號(hào)是 ▲ ．（填寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)） 12、 在中，，，分別表示它的斜邊長(zhǎng)，內(nèi)切圓半徑和面積，則的取值范圍 是 ▲ ． 13、函數(shù)f(x)是定義在[－4，4]上的偶函數(shù)，其在[0，4]上的圖象如圖所示，那么不等式 ＜0的解集為 ▲ ． 14、設(shè)，，…，是各項(xiàng)不為零的（）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差．若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后，得到的數(shù)列（按原來(lái)順序）是等比數(shù)列，則所有數(shù)對(duì)所組成的集合為_(kāi)__▲_____． 二、解答題 15、（14分）中，角的對(duì)邊分別為，且． （1）判斷的形狀； （2）設(shè)向量，，且，，求． 16、（14分）如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱AC上，且AF＝3FC． （1）求三棱錐D－ABC的表面積；（2）求證AC⊥平面DEF； E C B D A F N M （3）若M為BD的中點(diǎn)，問(wèn)AC上是否存在一點(diǎn)N，使MN∥平面DEF？若存在，說(shuō)明點(diǎn)N的位置；若不存在，試說(shuō)明理由． 17、（14分）某縣為了貫徹落實(shí)黨中央國(guó)務(wù)院關(guān)于農(nóng)村醫(yī)療保險(xiǎn)(簡(jiǎn)稱“醫(yī)?！?政策，制定了如下實(shí)施方案：2009年底通過(guò)農(nóng)民個(gè)人投保和政府財(cái)政投入，共集資1000萬(wàn)元作為全縣農(nóng)村醫(yī)?；穑瑥?010年起，每年報(bào)銷農(nóng)民的醫(yī)保費(fèi)都為上一年底醫(yī)?；鹩囝~的10%，并且每年底縣財(cái)政再向醫(yī)?；鹱①Ym萬(wàn)元(m為正常數(shù)). （1）以2009年為第一年，求第n年底該縣農(nóng)村醫(yī)?；鹩卸嗌偃f(wàn)元？ （2）根據(jù)該縣農(nóng)村人口數(shù)量和財(cái)政狀況，縣政府決定每年年底的醫(yī)?；鹨鹉暝黾?，同時(shí)不超過(guò)1500萬(wàn)元，求每年新增醫(yī)?；餸(單位：萬(wàn)元)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)。 18、（16分）如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為，右準(zhǔn)線為。圓D：。 （1）若圓D過(guò)兩點(diǎn)，求橢圓C的方程； （2）若直線上不存在點(diǎn)Q，使為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍。 （3）在（Ⅰ）的條件下，若直線與軸的交點(diǎn)為，將直線繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得直線，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，過(guò)P作圓D的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，求弦長(zhǎng)MN的最小值。 19、（16分）設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù)， . （1）若≥4，求m的取值范圍； （2）當(dāng)m＞0時(shí)，求證在上是單調(diào)遞增函數(shù)； （3）若對(duì)于一切，不等式≥1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 20、（16分）（1）已知函數(shù).數(shù)列滿足：，且,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；并判斷是否仍為數(shù)列中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)證明；否則，說(shuō)明理由. （2）設(shè)為首項(xiàng)是,公差的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)”的充要條件是“存在整數(shù)，使”. 答 案 一、填空題 1、3； 2、； 3、650； 4、3:2 ； 5、； 6、； 7、； 8、（2，1）； 9、（10，494）； 10、； 11、；②③； 12、； 13、（－，－1）∪（1，）； 14、. 二、解答題 15、解：（1）由題，故， 由正弦定理，即． 又，故， 因，故． 即，故為直角三角形． ．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）由于，所以 ① 且，即 ② 聯(lián)立①②解得，故在直角中，．．．．．．．14分 16、解（證明）（1）因?yàn)?AB⊥平面BCD，所以 AB⊥BC，AB⊥BD． 因?yàn)?△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以 AD＝AC＝． 設(shè)G為CD的中點(diǎn)，則CG＝，AG＝． E C B D A F N M 所以 ，，． 三棱錐D－ABC的表面積為．．．．4分 （2）取AC的中點(diǎn)H，因?yàn)?AB＝BC，所以 BH⊥AC． 因?yàn)?AF＝3FC，所以 F為CH的中點(diǎn)． 因?yàn)?E為BC的中點(diǎn)，所以 EF∥BH．則EF⊥AC． 因?yàn)?△BCD是正三角形，所以 DE⊥BC． 因?yàn)?AB⊥平面BCD，所以 AB⊥DE． 因?yàn)?AB∩BC＝B，所以 DE⊥平面ABC．所以 DE⊥AC． 因?yàn)?DE∩EF＝E，所以 AC⊥平面DEF．．．．．9分 （3）存在這樣的點(diǎn)N， 當(dāng)CN＝時(shí)，MN∥平面DEF． 連CM，設(shè)CM∩DE＝O，連OF． 由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM． 所以 當(dāng)CF＝CN時(shí)，MN∥OF．所以 CN＝．．．．．．．．．．．．．14分 17、解：（1）設(shè)第n年底該縣農(nóng)村醫(yī)?；馂閍n萬(wàn)元，則 ，即. （3分） 于是. 所以， 即. （6分） 故第n年底該縣農(nóng)村醫(yī)?；鹩腥f(wàn)元. （7分） （2）若每年年底的醫(yī)?；鹬鹉暝黾樱瑒t數(shù)列單調(diào)遞增. 因?yàn)槭菧p函數(shù)，則1000－10m＜0時(shí)，即m＞100. （10分） 又恒成立，則. 即10m≤1500，所以m≤150. （13分） 故每年新增醫(yī)?；餸的控制范圍是(100，150]. （14分） 18、解：（1）圓與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為， ，，故， …………………………………………2分 所以，橢圓方程是： …………………………5分 （2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，依題意，即,, , , ，.………………………………9分 （3）直線的方程是， 圓D的圓心是，半徑是， 設(shè)MN與PD相交于，則是MN的中點(diǎn)，且PM⊥MD， ……12分 當(dāng)且僅當(dāng)最小時(shí)，有最小值， 最小值即是點(diǎn)到直線的距離是，…………………14分 所以的最小值是。 ……………………………16分 19、解：（1） 當(dāng)時(shí)，，無(wú)解； （2分） 當(dāng)時(shí)，，解得。 （3分） 所以。（4分） （2）由于。所以。 任取， （5分） （7分） 所以 （8分） 即：在為單調(diào)遞增函數(shù)。 （3）、① 時(shí)， ， 恒成立恒成立 ，即： 由于的對(duì)稱軸為 故在為單調(diào)遞增函數(shù)，故。 所以。 （11分） ② 當(dāng)時(shí)， 易證 在為遞增，由②得在為遞增， 所以，，即， 所以 。 （14分） ③當(dāng)時(shí)， （無(wú)解） （15分） 綜上所述 。 （16分） 20、解：（1）因?yàn)椋? 所以，即， ，即. ……………………………………（4分） 因?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 所以. …………………………（6分） 又因?yàn)椋? 所以令，則 得到與矛盾，所以不在數(shù)列中. ………（8分） （2）充分性：若存在整數(shù)，使. 設(shè)為數(shù)列中不同的兩項(xiàng)，則 . 又且,所以. 即是數(shù)列的第項(xiàng). ……………………（11分） 必要性：若數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)， 則，，（，為互不相同的正整數(shù)） 則，令， 得到 ， 所以，令整數(shù)，所以.　 ……（14 分） 下證整數(shù) 若設(shè)整數(shù)則.令， 由題設(shè)取使 即，所以 即與相矛盾，所以. 綜上, 數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)的充要條件是存在整數(shù)，使. ……………………（16分）