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版權(quán)歸原著所有 本答案僅供參考 習(xí)題6 6-1．設(shè)固有長度的汽車，以的速度沿直線行駛，問站在路旁的觀察者按相對(duì)論計(jì)算該汽車長度縮短了多少？ 解： ，由泰勒展開，知 ∴，。 6-2．在參考系中，一粒子沿直線運(yùn)動(dòng)，從坐標(biāo)原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了處，經(jīng)歷時(shí)間為，試計(jì)算該過程對(duì)應(yīng)的固有時(shí)。 解：以粒子為系， 利用有： 。 6-3．從加速器中以速度飛出的離子在它的運(yùn)動(dòng)方向上又發(fā)射出光子。求這光子相對(duì)于加速器的速度。 解：設(shè)加速器為系，離子為系，利用：， 則： 。 6-4 1000m的高空大氣層中產(chǎn)生了一個(gè)π介子，以速度飛向地球,假定該π介子在其自身的靜止參照系中的壽命等于其平均壽命，試分別從下面兩個(gè)角度，即地面上觀測(cè)者相對(duì)π介子靜止系中的觀測(cè)者來判斷該π介子能否到達(dá)地球表面。 解：（1）地面上的觀察者認(rèn)為時(shí)間膨脹： 有，∴ 由，∴到達(dá)不了地球； （2）介子靜止系中的觀測(cè)者認(rèn)為長度收縮： 有，∴ 而，∴到達(dá)不了地球。 6-5 長度的米尺靜止于系中，與′軸的夾角=30，系相對(duì)系沿軸運(yùn)動(dòng)，在系中觀測(cè)者測(cè)得米尺與軸夾角為45。試求：（1）系和系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。（2）系中測(cè)得的米尺長度。 解：（1）米尺相對(duì)靜止，它在軸上的投影分別為： ，。 米尺相對(duì)沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為，對(duì)系中的觀察者測(cè)得米尺在方向收縮，而方向的長度不變，即：， 故 ：。 把及代入，則得：，故 ： (2)在系中測(cè)得米尺長度為 。 6-6 一門寬為，今有一固有長度(＞)的水平細(xì)桿，在門外貼近門的平面內(nèi)沿其長度方向勻速運(yùn)動(dòng)。若站在門外的觀察者認(rèn)為此桿的兩端可同時(shí)被拉進(jìn)此門，則該桿相對(duì)于門的運(yùn)動(dòng)速率至少為多少？ 解：門外觀測(cè)者測(cè)得桿長為運(yùn)動(dòng)長度，，當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為能被拉進(jìn)門，則： 解得桿的運(yùn)動(dòng)速率至少為： 6-7 兩個(gè)慣性系中的觀察者和以0.6c（c表示真空中光速）的相對(duì)速度相互接近，如果測(cè)得兩者的初始距離是20m，則測(cè)得兩者經(jīng)過多少時(shí)間相遇？ 解： 測(cè)得相遇時(shí)間為： 測(cè)得的是固有時(shí)：∴ ， 或者，測(cè)得長度收縮： 6-8 一宇航員要到離地球?yàn)?光年的星球去旅行．如果宇航員希望把這路程縮短為3光年，則他所乘的火箭相對(duì)于地球的速度是多少？ 解： 由長度縮短公式得：， 6-9．兩個(gè)宇宙飛船相對(duì)于恒星參考系以的速度沿相反方向飛行，求兩飛船的相對(duì)速度。 解：設(shè)宇宙船A為系，測(cè)得恒星的速度為，宇宙船B為系，測(cè)得恒星的速度為，兩個(gè)飛船的相對(duì)速度為， 根據(jù)洛倫茲速度變換公式：，有： 得： 。 6-10．從系觀察到有一粒子在時(shí)由處以速度沿方向運(yùn)動(dòng)，后到達(dá)點(diǎn)，如在系(相對(duì)系以速度沿方向運(yùn)動(dòng))觀察，粒子出發(fā)和到達(dá)的時(shí)空坐標(biāo)各為多少？(時(shí)，與的原點(diǎn)重合)，并算出粒子相對(duì)系的速度。 解：利用洛侖茲變換：，， 考慮到，有： ； ； ； ； 。 6-11．一飛船靜長，以速度相對(duì)于恒星系作勻速直線飛行，飛船內(nèi)一小球從尾部運(yùn)動(dòng)到頭部，宇航員測(cè)得小球運(yùn)動(dòng)速度為，試算出恒星系觀察者測(cè)得小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。 解：設(shè)恒星系為系，飛船為系，由題意：， ∴。 6-12．一個(gè)靜止的介子能衰變成一個(gè)介子和一個(gè)介子，這兩個(gè)介子的速率均為．現(xiàn)有一個(gè)以速率相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室運(yùn)動(dòng)的介子發(fā)生上述衰變。以實(shí)驗(yàn)室為參考系，兩個(gè)介子可能有的最大速率和最小速率是多少？ 解：以實(shí)驗(yàn)室為系，運(yùn)動(dòng)的介子為系，利用，有： 最大速度： ， 最小速度 。 6-13．一個(gè)電子從靜止開始加速到，需對(duì)它做多少功？，若速度從增加到又要做多少功？ 解：由相對(duì)論動(dòng)能：： （1）； （2） 。 6-14．一靜止電子(靜止能量為)被的電勢(shì)差加速，然后以恒定速度運(yùn)動(dòng)。求：（1）電子在達(dá)到最終速度后飛越的距離需要多少時(shí)間？（2）在電子的靜止系中測(cè)量，此段距離是多少？ 解：（1）∵， ∴，考慮到：， 得：，可求得： ， 那么，； （2）由，有。 6-15．有兩個(gè)中子和，沿同一直線相向運(yùn)動(dòng)，在實(shí)驗(yàn)室中測(cè)得每個(gè)中子的速率為．試證明相對(duì)中子靜止的參考系中測(cè)得的中子的總能量為：，其中為中子的靜質(zhì)量。 證明：設(shè)中子A為系，實(shí)驗(yàn)室為系，中子B相對(duì)于中子A速度為： ，代入，有： 。 6-16．一電子在電場(chǎng)中從靜止開始加速，電子的靜止質(zhì)量為. （1）問電子應(yīng)通過多大的電勢(shì)差才能使其質(zhì)量增加？ （2）此時(shí)電子的速率是多少？ 解：（1）由，且，， 有：，∴； （2）∵，∴，可求得：。 6-17．已知一粒子的動(dòng)能等于其靜止能量的倍，求：（1）粒子的速率，（2）粒子的動(dòng)量。 解：（1）依題意知：，又∵， ∴，有： 整理得：； （2）由，而：， 得： 。 6-18．太陽的輻射能來源于內(nèi)部一系列核反應(yīng)，其中之一是氫核()和氘核()聚變?yōu)楹ず?)，同時(shí)放出光子，反應(yīng)方程為： 已知?dú)?、氘和的原子質(zhì)量依次為、和. 原子質(zhì)量單位. 試估算光子的能量。 解： 根據(jù)質(zhì)能方程：。 思考題6 6-1．關(guān)于狹義相對(duì)論，下列幾種說法中錯(cuò)誤的是下列哪種表述： （A）一切運(yùn)動(dòng)物體的速度都不能大于真空中的光速； （B）在任何慣性系中，光在真空中沿任何方向的傳播速率都相同； （C）在真空中，光的速度與光源的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)； （D）在真空中，光的速度與光的頻率有關(guān)。 答：（D） 6-2．兩飛船、均沿靜止參照系的軸方向運(yùn)動(dòng)，速度分別為和。由飛船向飛船發(fā)射一束光，相對(duì)于飛船的速度為，則該光束相對(duì)于飛船的速度為多少？ 答：光速c 。 6-3．在慣性系和，分別觀測(cè)同一個(gè)空間曲面。如果在系觀測(cè)該曲面是球面，在系觀測(cè)必定是橢球面。反過來，如果在系觀測(cè)是球面，則在系觀測(cè)定是橢球面，這一結(jié)論是否正確？ 答：根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性這個(gè)結(jié)論是正確的。 6-4．一列以速度行駛的火車，其中點(diǎn)與站臺(tái)中點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)時(shí)，從站臺(tái)首尾兩端同時(shí)發(fā)出閃光。從點(diǎn)的觀察者看來，這兩次閃光是否同時(shí)？何處在先？ 答：根據(jù)，由于，，所以，即對(duì)點(diǎn)的觀測(cè)者來說兩次閃光不同時(shí)發(fā)生，尾部在先。 6-5．一高速列車穿過一山底隧道，列車和隧道靜止時(shí)有相同的長度，山頂上有人看到當(dāng)列車完全進(jìn)入隧道中時(shí)，在隧道的進(jìn)口和出口處同時(shí)發(fā)生了雷擊，但并未擊中列車。試按相對(duì)論理論定性分析列車上的旅客應(yīng)觀察到什么現(xiàn)現(xiàn)象？這現(xiàn)象是如何發(fā)生的？ 答：對(duì)于地面的觀察者雷擊是在不同地方同時(shí)發(fā)生的，但是對(duì)于列車上的旅客來說這兩個(gè)事件不是同時(shí)發(fā)生的，他應(yīng)該看到兩次雷擊現(xiàn)象。 6-6．假設(shè)在海拔高山處產(chǎn)生的子，靜止時(shí)的平均壽命為，以速度向山下運(yùn)動(dòng)。在下述兩參考系中估計(jì)在山腳下能否測(cè)到子？（1）在地面參考系中觀測(cè)；（2）在子參考系中觀測(cè)。 答：在子參考系中觀測(cè)子飛過的距離 ； 對(duì)于地面的觀測(cè)者子飛過的距離， 因大于，所以可以到達(dá)地面。 6-7．在地球上測(cè)量來自太陽赤道上相對(duì)的兩端輻射的線，其中一條線的波長為，且與另一條線的波長相差. 假定此效應(yīng)是由于太陽自轉(zhuǎn)引起的，求太陽自轉(zhuǎn)的周期（太陽的直徑是）。 答：此題可根據(jù)多普勒效應(yīng)求解，具體解略。 6-8．設(shè)在系中有一粒子，原來靜止于原點(diǎn)，在某一時(shí)刻粒子分裂為相等的兩半和，分別以速率沿軸的正向和反向運(yùn)動(dòng)。設(shè)另一參考系以速率沿方向運(yùn)動(dòng)。 （1）系中測(cè)得的速度多大？ （2）系中測(cè)得和的質(zhì)量比多大？ 答：系中測(cè)得的速度為0。 A相對(duì)于系中的速度：， （1）； （2）。