2011西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案(文理科).rar,2011,西城區(qū),高三二模,數(shù)學(xué)試卷,答案,文理科 北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷 數(shù)學(xué)（文科） 2011.5 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng). 1.已知集合,，且，則等于 （A） （B） （C） （D） 2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3.已知，則下列不等式正確的是 （A） （B） （C） （D） 4.在中，“”是“為直角三角形”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分又不必要條件 5．1 正(主)視圖 俯視圖 2 2 2 側(cè)(左)視圖 2 1 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則其體積等于 （A） （B） （C） （D） 6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是圖象的最高點(diǎn)，是圖象與軸的交點(diǎn)，則 x B P y O （A） （B） （C） （D） 7．若，則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （A）0個(gè) （B）1個(gè) （C）2個(gè) （D）3個(gè) 8．已知點(diǎn)及拋物線，若拋物線上點(diǎn)滿足，則 的最大值為 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9. 已知為等差數(shù)列，，則其前項(xiàng)之和為_(kāi)____. 10．已知向量，，設(shè)與的夾角為，則_____. 11.在中，若，，則_____. 12．平面上滿足約束條件的點(diǎn)形成的區(qū)域?yàn)?，則區(qū)域的面積為 ________；設(shè)區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱的區(qū)域?yàn)椋瑒t區(qū)域和區(qū)域中距離 開(kāi)始 輸入 否 結(jié)束 輸出 是 最近的兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_______. 13.定義某種運(yùn)算，的運(yùn)算原理如右圖所示. 則______； 設(shè).則______. 14.數(shù)列滿足，，其中，．給出下列命題： ①，對(duì)于任意，； ②，對(duì)于任意，； ③，，當(dāng)（）時(shí)總有. 其中正確的命題是______.（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)） 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 15.（本小題滿分13分） 已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的定義域； （Ⅱ）若，求的值. 16.（本小題滿分13分） 如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，,.將菱形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐,點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求證：平面平面； A B A B C C D M O D O （Ⅲ）求三棱錐的體積. 17.（本小題滿分13分） 由世界自然基金會(huì)發(fā)起的“地球1小時(shí)”活動(dòng)，已發(fā)展成為最有影響力的環(huán)保活動(dòng)之一，今年的參與人數(shù)再創(chuàng)新高.然而也有部分公眾對(duì)該活動(dòng)的實(shí)際效果與負(fù)面影響提出了疑問(wèn).對(duì)此，某新聞媒體進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示： 支持 保留 不支持 20歲以下 800 450 200 20歲以上（含20歲） 100 150 300 （Ⅰ）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取個(gè)人，已知從“支持”態(tài)度的人中抽取了45人，求的值； （Ⅱ）在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看成一個(gè)總體，從這5人中任意選取2人，求至少有人20歲以下的概率； （Ⅲ）在接受調(diào)查的人中，有8人給這項(xiàng)活動(dòng)打出的分?jǐn)?shù)如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把這8個(gè)人打出的分?jǐn)?shù)看作一個(gè)總體，從中任取個(gè)數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過(guò)0.6的概率. 18.（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）記曲線在點(diǎn)（其中）處的切線為，與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最大值. 19.（本小題滿分14分） 已知橢圓（）的焦距為，離心率為. （Ⅰ）求橢圓方程； （Ⅱ）設(shè)過(guò)橢圓頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且成等比數(shù)列，求的值. 20.（本小題滿分13分） 若函數(shù)對(duì)任意的，均有，則稱函數(shù)具有性質(zhì). （Ⅰ）判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由. ①； ②. （Ⅱ）若函數(shù)具有性質(zhì)，且（）， 求證：對(duì)任意有； （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否對(duì)任意均有.若成立給出證明，若不成立給出反例. 北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 數(shù)學(xué)（文科） 2011.5 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A D B B C 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9. 10. 11. 12. ； 13. ； 14. ①③ 注：12、13題第一問(wèn)2分，第二問(wèn)3分. 14題只選出一個(gè)正確的命題給2分，選出錯(cuò)誤的命題即得0分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15.（本小題滿分13分） 解：解：（Ⅰ）由題意，， ……………2分 所以，. ……………3分 函數(shù)的定義域?yàn)? ……………4分 （Ⅱ）因?yàn)?，所以? ……………5分 ， ……………7分 ， ……………9分 將上式平方，得， ……………12分 所以. ……………13分 16.（本小題滿分13分） （Ⅰ）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)， 所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)， 所以是的中位線，. ……………2分 因?yàn)槠矫?平面， 所以平面. ……………4分 （Ⅱ）證明：由題意，, 因?yàn)?所以，. ……………6分 A B C M O D 又因?yàn)榱庑?，所? …………7分 因?yàn)? 所以平面， ……………8分 因?yàn)槠矫妫? 所以平面平面. ……………9分 （Ⅲ）解：三棱錐的體積等于三棱錐的體積. ……………10分 由（Ⅱ）知，平面， 所以為三棱錐的高. ……………11分 的面積為， ……………12分 所求體積等于. ……………13分 17.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）由題意得， ……………2分 所以. ……………3分 （Ⅱ）設(shè)所選取的人中，有人20歲以下，則，解得.………5分 也就是20歲以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分別記作A1，A2；B1，B2，B3， 則從中任取2人的所有基本事件為 (A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10個(gè). ………7分 其中至少有1人20歲以下的基本事件有7個(gè)：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， …………8分 所以從中任意抽取2人，至少有1人20歲以下的概率為. ……………9分 （Ⅲ）總體的平均數(shù)為，………10分 那么與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過(guò)0.6的數(shù)只有8.2， ……………12分 所以該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過(guò)0.6的概率為. ……………13分 18.（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由已知， 所以， ……………2分 由，得， ……………3分 所以，在區(qū)間上，， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減； ……………4分 在區(qū)間上，， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增； ……………5分 即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. （Ⅱ）因?yàn)椋? 所以曲線在點(diǎn)處切線為：. ……………7分 切線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為， ……………9分 因?yàn)?，所以? ……………10分 ， ……………12分 在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減. ……………13分 所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)， 所以，的最大值為. ……………14分 19、（本小題滿分14分） x y O D B E 解：（Ⅰ）由已知，. ……………2分 解得， ……………4分 所以， 橢圓的方程為. ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得過(guò)點(diǎn)的直線為， 由 得， ……………6分 所以，所以， ……………8分 依題意，. 因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以， ……………9分 所以，即， ……………10分 當(dāng)時(shí)，，無(wú)解， ……………11分 當(dāng)時(shí)，，解得， ……………12分 所以，解得， 所以，當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，. ……………14分 20.（本小題滿分13分） （Ⅰ）證明：①函數(shù)具有性質(zhì). ……………1分 ， 因?yàn)?，? ……………3分 即， 此函數(shù)為具有性質(zhì). ②函數(shù)不具有性質(zhì). ……………4分 例如，當(dāng)時(shí)，， ， ……………5分 所以，， 此函數(shù)不具有性質(zhì). （Ⅱ）假設(shè)為中第一個(gè)大于的值， ……………6分 則， 因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)， 所以，對(duì)于任意，均有， 所以， 所以， 與矛盾， 所以，對(duì)任意的有. ……………9分 （Ⅲ）不成立. 例如 ……………10分 證明：當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，均為有理數(shù)， ， 當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，均為無(wú)理數(shù)， 所以，函數(shù)對(duì)任意的，均有， 即函數(shù)具有性質(zhì). ……………12分 而當(dāng)（）且當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，. 所以，在（Ⅱ）的條件下，“對(duì)任意均有”不成立.……………13分 （其他反例仿此給分. 如，，，等.） 北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷 數(shù)學(xué)（理科） 2011.5 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng). 1.已知集合，，且，則等于 （A） （B） （C） （D） 2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3.在中，“”是“為鈍角三角形”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分又不必要條件 4.已知六棱錐的底面是正六邊形， 平面.則下列結(jié)論不正確的是 （A）平面 （B）平面 （C）平面 （D）平面 5.雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線離心率為 （A） （B） （C） （D） x A B P y O 6.函數(shù)的部分圖象如右圖所示，設(shè)是圖象的最高點(diǎn)，是圖象與軸的交點(diǎn)，則 （A） （B） （C） （D） 7．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么滿足的整數(shù) （A）有3個(gè) （B）有2個(gè) （C）有1個(gè) （D）不存在 8．設(shè)點(diǎn)，，如果直線與線段有一個(gè)公共點(diǎn)，那么 （A）最小值為 （B）最小值為 （C）最大值為 （D）最大值為 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. O A B P D C ? 9．在中，若，，則_____. 10.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是_____. 11．如圖，是圓的直徑，在的延長(zhǎng)線上， 切圓于點(diǎn).已知圓半徑為，，則 ______；的大小為_(kāi)_____. 開(kāi)始 輸入 否 結(jié)束 輸出 是 12.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為_(kāi)____. 13．定義某種運(yùn)算，的運(yùn)算原理如右圖所示. 設(shè). 則______； 在區(qū)間上的最小值為_(kāi)_____. 14.數(shù)列滿足，，其中， ． ①當(dāng)時(shí)，_____； ②若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有，則的取值范圍是_____. 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 15.（本小題滿分13分） 已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的定義域； （Ⅱ）若，求的值. 16.（本小題滿分13分） 如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為，,.將菱形沿對(duì)角線折起，使，得到三棱錐. （Ⅰ）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證:平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得，并證明你的結(jié)論. M 17.（本小題滿分13分） 甲班有2名男乒乓球選手和3名女乒乓球選手，乙班有3名男乒乓球選手和1名女乒乓球選手，學(xué)校計(jì)劃從甲乙兩班各選2名選手參加體育交流活動(dòng). （Ⅰ）求選出的4名選手均為男選手的概率. （Ⅱ）記為選出的4名選手中女選手的人數(shù)，求的分布列和期望. 18.（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積； （Ⅱ）若函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，且極大值與極小值的積為，求的值. 19.（本小題滿分14分） 已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)， 求面積的最大值． 20.（本小題滿分13分） 若為集合且的子集，且滿足兩個(gè)條件： ①； ②對(duì)任意的，至少存在一個(gè)，使或. … … … … … … … 則稱集合組具有性質(zhì). 如圖，作行列數(shù)表，定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為. （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì)，如果是請(qǐng)畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的表格，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由； 集合組1：； 集合組2：. （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若集合組具有性質(zhì)，請(qǐng)先畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的行3列的一個(gè)數(shù)表，再依此表格分別寫(xiě)出集合； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，集合組是具有性質(zhì)且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的個(gè)數(shù)） 北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 數(shù)學(xué)（理科） 2011.5 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D C B B A 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9. 10. 11.； 12.（或其它等價(jià)寫(xiě)法） 13.； 14.；. 注：11、13、14題第一問(wèn)2分，第二問(wèn)3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）由題意，， ………………2分 所以， ………………3分 所以， ………………4分 函數(shù)的定義域?yàn)? ………………5分 （Ⅱ） ………………7分 ………………8分 . ………………10分 因?yàn)椋? ………………11分 所以， ………………12分 . ………………13分 16.（本小題滿分13分） （Ⅰ）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)， 所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)， 所以是的中位線，. ………………1分 因?yàn)槠矫?平面, 所以平面. ………………3分 A B C O D x y z M （Ⅱ）解：由題意，， 因?yàn)椋? 所以，. ………………4分 又因?yàn)榱庑?，所以? 建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示. . 所以 ………………6分 設(shè)平面的法向量為， 則有即： 令，則，所以. ………………7分 因?yàn)?所以平面. 平面的法向量與平行， 所以平面的法向量為. ………………8分 ， 因?yàn)槎娼鞘卿J角， 所以二面角的余弦值為. ……………9分 （Ⅲ）解：因?yàn)槭蔷€段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，， 則， 所以， ……………10分 則，， 由得，即，…………11分 解得或， ……………12分 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或. ……………13分 （也可以答是線段的三等分點(diǎn)，或） 17.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）事件表示“選出的4名選手均為男選手”.由題意知 ………………3分 . ………………5分 （Ⅱ）的可能取值為. ………………6分 ， ………………7分 ， ………………9分 ， ………………10分 . ………………11分 的分布列： ………………12分 . ………………13分 18、（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）， ………………3分 當(dāng)時(shí)，， ，， 所以曲線在處的切線方程為， ………………5分 切線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，， ………………6分 所以，所求面積為. ………………7分 （Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)， 所以，方程在內(nèi)存在兩個(gè)不等實(shí)根， ………………8分 則 ………………9分 所以. ………………10分 設(shè)為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)， 則，， ………………11分 因?yàn)?，? 所以，， ………………12分 即，，， 解得，，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)， 所以. ………………14分 19.（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為， 所以， ……………1分 又橢圓的離心率為，即，所以， ………………2分 所以，. ………………4分 所以，橢圓的方程為. ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨設(shè)的方程，則的方程為. 由得， ………………6分 設(shè)，， 因?yàn)?，所以? ………………7分 同理可得， ………………8分 所以，， ………………10分 ， ………………12分 設(shè)， 則， ………………13分 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 所以面積的最大值為. ………………14分 方法二：不妨設(shè)直線的方程. 由 消去得， ………………6分 設(shè)，， 則有，. ① ………………7分 因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)，所以 . 由 ， 得 . ………………8分 將代入上式， 得 . 將 ① 代入上式，解得 或（舍）. ………………10分 所以（此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)）， 所以 . ……………12分 設(shè)， 則. 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值. ……………14分 20.（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：集合組1具有性質(zhì). ………………1分 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為： ………………3分 集合組2不具有性質(zhì). ………………4分 因?yàn)榇嬖冢? 有， 與對(duì)任意的，都至少存在一個(gè)，有或矛盾，所以集合組不具有性質(zhì). ………………5分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （Ⅱ） ……………7分 . ………………8分 （注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對(duì)應(yīng)的集合組也不同） （Ⅲ）設(shè)所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表， 因?yàn)榧辖M為具有性質(zhì)的集合組， 所以集合組滿足條件①和②， 由條件①：， 可得對(duì)任意，都存在有， 所以，即第行不全為0， 所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0. ………………9分 由條件②知，對(duì)任意的，都至少存在一個(gè)，使或，所以一定是一個(gè)1一個(gè)0，即第行與第行的第列的兩個(gè)數(shù)一定不同. 所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同. ………………10分 因?yàn)橛伤鶚?gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè)，去掉全是的元有序數(shù)組，共有個(gè)，又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同，所以， 所以. 又時(shí)，由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè)，去掉全是的數(shù)組，共個(gè)，選擇其中的個(gè)數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表，則數(shù)表對(duì)應(yīng)的集合組滿足條件①②，即具有性質(zhì). 所以. ………………12分 因?yàn)榈扔诒砀裰袛?shù)字1的個(gè)數(shù)， 所以，要使取得最小值，只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少， 而時(shí)，在數(shù)表中， 的個(gè)數(shù)為的行最多行； 的個(gè)數(shù)為的行最多行； 的個(gè)數(shù)為的行最多行； 的個(gè)數(shù)為的行最多行； 因?yàn)樯鲜龉灿行?，所以還有行各有個(gè)， 所以此時(shí)表格中最少有個(gè). 所以的最小值為. ………………14分